广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4．计算 $I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1} \sin x^{2} \cos y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确积分区域与对称性分析
积分区域为 $D = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1 \}$，即单位圆盘。被积函数 $\sin(x^2)\cos(y^2)$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为偶函数，但交换 $x$ 与 $y$ 后形式不同，不能直接利用对称性简化。
公式：D = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1 \}
提示：注意偶函数性质可简化积分限，但此处更关键的是后续的三角恒等变换。
步骤 2/7
目标：尝试极坐标变换
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $x^2 = r^2\cos^2\theta$, $y^2 = r^2\sin^2\theta$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，积分区域为 $0\le r\le 1$, $0\le \theta\le 2\pi$。积分化为：
$$ I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sin(r^2\cos^2\theta)\,\cos(r^2\sin^2\theta)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta $$
公式：x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
提示：极坐标是处理圆域积分的常用方法，但此处角度与半径耦合，需进一步化简。
步骤 3/7
目标：利用三角恒等式化简被积函数
使用恒等式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$，其中 $A = r^2\cos^2\theta$, $B = r^2\sin^2\theta$。计算得：
$$ A+B = r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = r^2 $$
$$ A-B = r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta) = r^2\cos 2\theta $$
因此
$$ \sin(r^2\cos^2\theta)\cos(r^2\sin^2\theta) = \frac{1}{2}\left[ \sin(r^2) + \sin(r^2\cos 2\theta) \right] $$
公式：\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
提示：注意 $\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos 2\theta$，这是化简的关键。
步骤 4/7
目标：将积分分解为两部分
代入化简后的表达式，积分分解为：
$$ I = \frac12 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sin(r^2)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta + \frac12 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sin(r^2\cos 2\theta)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta $$
公式：I = \frac12 I_1 + \frac12 I_2
提示：第一部分与 $\theta$ 无关，可先计算；第二部分需进一步分析对称性。
步骤 5/7
目标：计算第一部分积分
第一部分：
$$ \frac12 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 r\sin(r^2)\,\mathrm{d}r $$
其中 $\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi$。令 $u = r^2$，则 $\mathrm{d}u = 2r\,\mathrm{d}r$，$r\,\mathrm{d}r = \frac12\mathrm{d}u$，积分限 $u:0\to1$，得：
$$ \int_0^1 r\sin(r^2)\,\mathrm{d}r = \frac12 \int_0^1 \sin u\,\mathrm{d}u = \frac12 (1-\cos 1) $$
因此第一部分为：
$$ \frac12 \cdot 2\pi \cdot \frac12 (1-\cos 1) = \frac{\pi}{2}(1-\cos 1) $$
公式：\int_0^1 r\sin(r^2)\,\mathrm{d}r = \frac12(1-\cos 1)
提示：换元时注意 $r\,\mathrm{d}r$ 与 $\mathrm{d}u$ 的对应关系，避免系数错误。
步骤 6/7
目标：分析第二部分积分并证明其为零
第二部分为：
$$ \frac12 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sin(r^2\cos 2\theta)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta $$
令 $f(\theta) = \int_0^1 \sin(r^2\cos 2\theta)\, r\,\mathrm{d}r$。由于 $\cos 2(\theta+\pi/2) = \cos(2\theta+\pi) = -\cos 2\theta$，且 $\sin$ 是奇函数，故 $f(\theta+\pi/2) = -f(\theta)$。将 $[0,2\pi)$ 按 $\pi/2$ 分段，每对相差 $\pi/2$ 的区间积分互相抵消，因此 $\int_0^{2\pi} f(\theta)\,\mathrm{d}\theta = 0$，即第二部分为零。
公式：f(\theta+\pi/2) = -f(\theta)
提示：利用 $\cos 2\theta$ 的周期性和奇偶性，注意 $\sin$ 为奇函数，导致正负抵消。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
综合两部分，第二部分为零，故：
$$ I = \frac{\pi}{2}(1-\cos 1) $$
公式：I = \frac{\pi}{2}(1-\cos 1)
提示：最终结果简洁，注意 $\cos 1$ 中的1是弧度制。
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