广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、证明题（每小题 10 分，共 5 小题，共 50 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和要证明的结论
已知函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且对任意 \( x \in [a,b] \) 有 \( f(x) > 0 \)。需要证明存在 \( m > 0 \)，使得对所有 \( x \in [a,b] \)，有 \( f(x) \ge m \)。
提示：注意闭区间和连续性是应用最值定理的关键前提。
步骤 2/5
目标：应用闭区间上连续函数的最值定理
由于 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，根据最值定理，\( f(x) \) 在 \([a,b]\) 上必能取到最大值和最小值。设最小值点为 \( x_0 \in [a,b] \)，记 \( m = f(x_0) \)。
公式：最值定理：闭区间上连续函数必有最大值和最小值。
提示：最值定理只保证存在性，不保证唯一性，但这里我们只需要一个最小值点。
步骤 3/5
目标：利用已知条件得出最小值大于零
由已知条件，对任意 \( x \in [a,b] \)，有 \( f(x) > 0 \)。特别地，对于最小值点 \( x_0 \)，有 \( m = f(x_0) > 0 \)。
提示：不要忽略“任意”二字，它保证了最小值点处的函数值也大于零。
步骤 4/5
目标：由最小值定义得到不等式
根据最小值的定义，对于任意 \( x \in [a,b] \)，有 \( f(x) \ge f(x_0) = m \)。
公式：\( \forall x \in [a,b], \ f(x) \ge m \)
提示：最小值定义：\( f(x_0) \) 是函数在区间上的最小值，意味着所有函数值都不小于它。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在正数 \( m \)（即函数的最小值），使得对所有 \( x \in [a,b] \)，都有 \( f(x) \ge m \)。证毕。
提示：证明的关键是找到这个正数 \( m \)，它由最值定理保证存在，并由条件保证大于零。
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