广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
一、计算题（每小题 10 分，共 6 小题，共 60 分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断极限类型
当\(x \to 0\)时，分子\(\sin x - x \to 0\)，分母\(x^3 \to 0\)，因此该极限为\(\frac{0}{0}\)型未定式。
提示：注意检查分子分母是否同时趋于0，这是使用洛必达法则或泰勒展开的前提。
步骤 2/5
目标：选择解法：泰勒展开
由于\(\sin x\)在\(x=0\)处可展开为泰勒级数：\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)，取前两项并保留余项：\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\)。
公式：\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：泰勒展开时，分母是\(x^3\)，因此展开到\(x^3\)项即可，更高阶项可归入\(O(x^5)\)。
步骤 3/5
目标：代入分子化简
将泰勒展开代入分子：\(\sin x - x = \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) - x = -\frac{x^3}{6} + O(x^5)\)。
公式：\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：注意\(O(x^5)\)表示比\(x^5\)高阶的无穷小，在后续除以\(x^3\)后会变为\(O(x^2)\)。
步骤 4/5
目标：计算极限
将化简后的分子代入极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{6} + O(x^2)\right)\)。当\(x \to 0\)时，\(O(x^2) \to 0\)，因此极限值为\(-\frac{1}{6}\)。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}
提示：也可以使用洛必达法则验证，但需连续求导三次，泰勒展开更简洁。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
经过上述推导，极限结果为\(-\frac{1}{6}\)。
提示：答案应化简为最简分数形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。