广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n-3^{2 n}}$ 的收玫域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项并分析渐近行为
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n-3^{2n}}$。注意到 $3^{2n} = 9^n$，因此通项可写为 $a_n(x) = \frac{x^{2n}}{n - 9^n}$。当 $n$ 很大时，$9^n$ 远大于 $n$，故分母近似为 $-9^n$，从而 $a_n(x) \approx -\left(\frac{x^2}{9}\right)^n$。这提示我们使用根值判别法。
公式：$a_n(x) = \frac{x^{2n}}{n - 9^n} \approx -\left(\frac{x^2}{9}\right)^n$
提示：注意 $3^{2n}=9^n$，化简后便于应用判别法。
步骤 2/5
目标：应用根值判别法求收敛半径
计算 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n(x)|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{|x|^{2n}}{|n-9^n|}}$。由于 $\sqrt[n]{|n-9^n|} \to 9$（因为 $9^n$ 主导），且 $\sqrt[n]{|x|^{2n}} = |x|^2$，所以极限为 $\frac{|x|^2}{9}$。根据根值判别法，级数绝对收敛当 $\frac{|x|^2}{9} < 1$，即 $|x| < 3$；发散当 $|x| > 3$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n(x)|} = \frac{|x|^2}{9}$
提示：根值判别法适用于通项含幂的形式，注意开方后极限的简化。
步骤 3/5
目标：检查边界点 $|x|=3$ 的敛散性
当 $|x|=3$ 时，$x^{2n} = 3^{2n} = 9^n$，通项变为 $\frac{9^n}{n-9^n} = -\frac{9^n}{9^n - n} = -\frac{1}{1 - n/9^n}$。当 $n\to\infty$，$n/9^n \to 0$，因此通项趋于 $-1$，不趋于 $0$。由级数收敛的必要条件（通项趋于 $0$）可知，级数在 $|x|=3$ 处发散。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{9^n}{n-9^n} = -1 \neq 0$
提示：边界点必须单独验证，通项不趋于0则级数必发散。
步骤 4/5
目标：检查分母是否为零的特殊点
考虑分母 $n-9^n=0$ 的情形。对于 $n\ge 1$，$9^n \ge 9 > n$，因此 $n-9^n < 0$，恒不为零。故无需要排除的点。
公式：$n-9^n \neq 0$ 对所有 $n\ge 1$ 成立
提示：分母为零会导致级数无定义，需确认求和范围内无此情况。
步骤 5/5
目标：综合得出收敛域
由根值判别法得到内部收敛区间 $|x|<3$，边界点 $|x|=3$ 发散，且无其他特殊点。因此收敛域为开区间 $(-3, 3)$。
公式：收敛域：$|x| < 3$
提示：收敛域通常为开区间，边界需单独判断。
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