广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．（1）证明函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上不一致连续．
（2）计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明函数 f(x)=1/x 在 (0,1) 上不一致连续
取 ε₀ = 1。对任意 δ > 0，选取自然数 n 使得 1/[n(n+1)] < δ。令 x_n = 1/n，y_n = 1/(n+1)，则 |x_n - y_n| = 1/[n(n+1)] < δ，但 |f(x_n)-f(y_n)| = |n - (n+1)| = 1 ≥ ε₀。因此，由不一致连续的定义，f(x) 在 (0,1) 上不一致连续。
公式：|x_n - y_n| = \frac{1}{n(n+1)} \to 0, \quad |f(x_n)-f(y_n)| = 1
提示：注意选取的点必须落在区间 (0,1) 内，当 n 充分大时满足。
步骤 2/6
目标：引入变量替换 x = tan t 化简积分
令 x = tan t，则 dx = sec² t dt。当 x=0 时 t=0，当 x=1 时 t=π/4。分母 1+x² = sec² t，代入得 I = ∫_{0}^{π/4} ln(1+tan t) dt。
公式：I = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan t) dt
提示：注意积分限的对应关系，以及 sec² t 与分母的约简。
步骤 3/6
目标：利用三角恒等式分解 ln(1+tan t)
1+tan t = (cos t + sin t)/cos t，而 cos t + sin t = √2 cos(t - π/4)，所以 ln(1+tan t) = ln√2 + ln cos(t - π/4) - ln cos t。
公式：\ln(1+\tan t) = \frac{1}{2}\ln 2 + \ln\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right) - \ln\cos t
提示：注意 ln√2 = (1/2)ln2。
步骤 4/6
目标：将积分拆分为三项并分别处理
I = ∫_{0}^{π/4} (1/2)ln2 dt + ∫_{0}^{π/4} ln cos(t - π/4) dt - ∫_{0}^{π/4} ln cos t dt。第一项直接积分得 (π/8)ln2。
公式：I = \frac{\pi}{8}\ln 2 + \int_0^{\pi/4} \ln\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right) dt - \int_0^{\pi/4} \ln\cos t dt
提示：第一项为常数积分，计算简单。
步骤 5/6
目标：利用变量替换和偶函数性质化简后两项
对第二项令 u = t - π/4，则积分变为 ∫_{-π/4}^{0} ln cos u du。由于 cos u 是偶函数，该积分等于 ∫_{0}^{π/4} ln cos u du，恰好与第三项抵消。
公式：\int_0^{\pi/4} \ln\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right) dt = \int_{-\pi/4}^0 \ln\cos u du = \int_0^{\pi/4} \ln\cos u du
提示：注意积分限变换时符号不变，因为 du = dt。
步骤 6/6
目标：得出最终积分结果
后两项抵消后，仅剩第一项，因此 I = (π/8)ln2。
公式：I = \frac{\pi}{8}\ln 2
提示：最终结果简洁，注意核对计算过程。
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