广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 的偏导数存在，但在此点不
可微。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确函数定义与目标
函数定义为：
\[
f(x,y) = \begin{cases}
\frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\
0, & (x,y) = (0,0)
\end{cases}
\]
需要证明在原点处偏导数存在，但函数不可微。
公式：f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}
提示：注意分段函数在原点处单独定义为0，这是计算偏导数和可微性的基础。
步骤 2/7
目标：证明偏导数存在：计算 f_x(0,0)
利用偏导数定义：
\[
f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}
\]
当 \(h \neq 0\) 时，\(f(h,0) = \frac{h^3 - 0}{h^2 + 0} = h\)，代入得：
\[
\frac{f(h,0)-0}{h} = \frac{h}{h} = 1
\]
因此 \(f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} 1 = 1\)。
公式：f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = 1
提示：计算偏导数时，必须严格使用定义，不能直接对表达式求导，因为函数在原点处是分段定义的。
步骤 3/7
目标：证明偏导数存在：计算 f_y(0,0)
利用偏导数定义：
\[
f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}
\]
当 \(k \neq 0\) 时，\(f(0,k) = \frac{0 - k^3}{0 + k^2} = -k\)，代入得：
\[
\frac{f(0,k)-0}{k} = \frac{-k}{k} = -1
\]
因此 \(f_y(0,0) = -1\)。
公式：f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = -1
提示：注意符号：分子是 \(-k^3\)，化简后得到 \(-k\)，不要遗漏负号。
步骤 4/7
目标：检验可微性：写出可微定义并代入
函数在原点可微要求存在常数 \(A,B\)（即偏导数）使得：
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - A h - B k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
\]
代入 \(A=1, B=-1\)，\(f(0,0)=0\)，得：
\[
L = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\frac{h^3 - k^3}{h^2+k^2} - (h + k)}{\sqrt{h^2+k^2}}
\]
注意：\(-(-1)k = +k\)，所以减去的是 \(h+k\)。
公式：L = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\frac{h^3 - k^3}{h^2+k^2} - h - k}{\sqrt{h^2+k^2}}
提示：可微定义中的线性项是 \(A h + B k\)，代入偏导数值时注意符号。
步骤 5/7
目标：化简分子表达式
将分子通分：
\[
\frac{h^3 - k^3}{h^2+k^2} - (h+k) = \frac{h^3 - k^3 - (h+k)(h^2+k^2)}{h^2+k^2}
\]
展开 \((h+k)(h^2+k^2) = h^3 + h k^2 + k h^2 + k^3\)，代入得分子：
\[
h^3 - k^3 - (h^3 + h k^2 + k h^2 + k^3) = -h k^2 - k h^2 - 2k^3
\]
因此：
\[
L = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{-h k^2 - k h^2 - 2k^3}{(h^2+k^2)^{3/2}}
\]
公式：L = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{-h k^2 - k h^2 - 2k^3}{(h^2+k^2)^{3/2}}
提示：通分和展开时注意每一项的符号，避免计算错误。
步骤 6/7
目标：选取特殊路径判断极限是否为零
取路径 \(h = k\)（且 \(k > 0\)），代入：
分子：\(-k \cdot k^2 - k \cdot k^2 - 2k^3 = -k^3 - k^3 - 2k^3 = -4k^3\)
分母：\((k^2 + k^2)^{3/2} = (2k^2)^{3/2} = 2^{3/2} k^3\)
比值：
\[
\frac{-4k^3}{2^{3/2} k^3} = -\frac{4}{2^{3/2}} = -\frac{4}{2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \neq 0
\]
因此极限不为0，函数在原点不可微。
公式：\lim_{k \to 0} \frac{-4k^3}{(2k^2)^{3/2}} = -\sqrt{2} \neq 0
提示：选择路径时，应使分子和分母的阶数匹配，通常取 \(h = k\) 或 \(h = 0\) 等简单路径。注意分母的 \(3/2\) 次方要正确处理。
步骤 7/7
目标：得出结论
函数在原点处偏导数存在，\(f_x(0,0)=1\)，\(f_y(0,0)=-1\)，但由于沿路径 \(h=k\) 时差商极限不为零，不满足可微定义，故函数在原点不可微。
公式：\text{偏导数存在但不可微}
提示：偏导数存在是可微的必要条件而非充分条件，本题是典型反例。
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