广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $\Sigma$ 是椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 的上半部分，点 $P(x, y, z) \in \Sigma, \Pi$ 是 $\Sigma$ 在 $P$ 点的切平面，$\rho(x, y, z)$ 是 $O(0,0,0)$ 到平面 $\Pi$ 的距离，求第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, x)} \mathrm{d} S$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出曲面方程和法向量，得到切平面方程
椭球面方程为 \(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1\)，上半部分即 \(z \ge 0\)。写成隐函数形式 \(F(x,y,z)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}-1=0\)，梯度给出法向量 \(\nabla F = (x, y, 2z)\)。在点 \(P(x,y,z)\) 处的切平面方程为 \(x(X-x) + y(Y-y) + 2z(Z-z) = 0\)，整理得 \(xX + yY + 2zZ = x^2 + y^2 + 2z^2\)。利用椭球面方程，\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1\) 可得 \(x^2+y^2+2z^2 = 2\)，所以切平面方程简化为 \(xX + yY + 2zZ = 2\)。
公式：\nabla F = (x, y, 2z), \quad xX + yY + 2zZ = 2
提示：注意利用椭球面方程化简常数项，避免直接代入坐标计算。
步骤 2/6
目标：求原点到切平面的距离 \(\rho(x,y,z)\)
原点到平面 \(xX+yY+2zZ=2\) 的距离公式为 \(\rho(x,y,z) = \frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{x^2+y^2+(2z)^2}} = \frac{2}{\sqrt{x^2+y^2+4z^2}}\)。因此 \(\frac{1}{\rho} = \frac{\sqrt{x^2+y^2+4z^2}}{2}\)，被积函数为 \(\frac{z}{\rho} = z \cdot \frac{\sqrt{x^2+y^2+4z^2}}{2}\)。
公式：\rho = \frac{2}{\sqrt{x^2+y^2+4z^2}}, \quad \frac{z}{\rho} = \frac{z\sqrt{x^2+y^2+4z^2}}{2}
提示：距离公式中分母为法向量模长，注意 \(2z\) 的平方是 \(4z^2\)。
步骤 3/6
目标：参数化上半椭球面并计算面积元 \(dS\)
将上半椭球面参数化为 \(x = \sqrt{2}\sin\theta\cos\phi,\; y = \sqrt{2}\sin\theta\sin\phi,\; z = \cos\theta\)，其中 \(\theta \in [0, \pi/2]\)，\(\phi \in [0, 2\pi)\)。计算偏导数：\(\mathbf{r}_\theta = (\sqrt{2}\cos\theta\cos\phi,\; \sqrt{2}\cos\theta\sin\phi,\; -\sin\theta)\)，\(\mathbf{r}_\phi = (-\sqrt{2}\sin\theta\sin\phi,\; \sqrt{2}\sin\theta\cos\phi,\; 0)\)。叉积得 \(\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi = (\sqrt{2}\sin^2\theta\cos\phi,\; \sqrt{2}\sin^2\theta\sin\phi,\; 2\cos\theta\sin\theta)\)，模长为 \(|\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi| = \sqrt{2}\sin\theta \sqrt{1+\cos^2\theta}\)，所以 \(dS = \sqrt{2}\sin\theta \sqrt{1+\cos^2\theta}\, d\theta d\phi\)。
公式：dS = \sqrt{2}\sin\theta \sqrt{1+\cos^2\theta}\, d\theta d\phi
提示：参数化时注意 \(\theta\) 范围对应上半部分，计算叉积模长时合并 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) 简化。
步骤 4/6
目标：用参数表示被积函数并化简
由参数化得 \(x^2+y^2 = 2\sin^2\theta\)，\(z = \cos\theta\)，则 \(\sqrt{x^2+y^2+4z^2} = \sqrt{2\sin^2\theta + 4\cos^2\theta} = \sqrt{2(1+\cos^2\theta)}\)。因此 \(\frac{z}{\rho} = \frac{\cos\theta}{2} \cdot \sqrt{2(1+\cos^2\theta)} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\sqrt{1+\cos^2\theta}\)。
公式：\frac{z}{\rho} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\sqrt{1+\cos^2\theta}
提示：注意 \(2\sin^2\theta+4\cos^2\theta = 2(\sin^2\theta+2\cos^2\theta) = 2(1+\cos^2\theta)\)。
步骤 5/6
目标：计算被积函数与面积元的乘积并积分
被积函数乘 \(dS\)：\(\frac{z}{\rho}\, dS = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\sqrt{1+\cos^2\theta} \cdot \sqrt{2}\sin\theta\sqrt{1+\cos^2\theta}\, d\theta d\phi = \cos\theta\sin\theta(1+\cos^2\theta)\, d\theta d\phi\)。积分区域 \(\theta\in[0,\pi/2]\)，\(\phi\in[0,2\pi)\)，则 \(\iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho}\, dS = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta(1+\cos^2\theta)\, d\theta = 2\pi \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta(1+\cos^2\theta)\, d\theta\)。
公式：\frac{z}{\rho}\, dS = \cos\theta\sin\theta(1+\cos^2\theta)\, d\theta d\phi
提示：注意 \(\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1\)，\(\sqrt{1+\cos^2\theta}\cdot\sqrt{1+\cos^2\theta}=1+\cos^2\theta\)。
步骤 6/6
目标：计算 \(\theta\) 积分并得到最终结果
令 \(u = \cos\theta\)，则 \(du = -\sin\theta d\theta\)，当 \(\theta=0\) 时 \(u=1\)，\(\theta=\pi/2\) 时 \(u=0\)，积分变为 \(\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta(1+\cos^2\theta)\, d\theta = \int_{1}^{0} u(1+u^2)(-du) = \int_{0}^{1} (u+u^3)\, du = \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)。乘以 \(2\pi\) 得 \(\iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho}\, dS = 2\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{2}\)。
公式：\iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho}\, dS = \frac{3\pi}{2}
提示：换元时注意积分限变化，避免符号错误。
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