广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，$f(-1)=f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件，明确目标
已知 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，且 $f(-1)=0$, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f'(0)=0$。需要证明存在 $\xi \in (-1,1)$ 使得 $f''(\xi)=1$。
提示：注意二阶可导的条件，提示使用中值定理或泰勒公式。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数，将问题转化为证明某点二阶导数为零
构造 $g(x) = f(x) - \frac{x^2}{2}$，则 $g'(x) = f'(x) - x$，$g''(x) = f''(x) - 1$。要证存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=1$，即证存在 $\xi$ 使 $g''(\xi)=0$。
公式：g(x) = f(x) - \frac{x^2}{2}
提示：辅助函数的构造是关键，通常将目标表达式与已知函数相减。
步骤 3/6
目标：计算辅助函数在关键点的值
计算得：$g(0)=f(0)-0=0$；$g(-1)=f(-1)-\frac{1}{2}=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$；$g(1)=f(1)-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；$g'(0)=f'(0)-0=0$。
公式：g(-1) = -\frac{1}{2}, \quad g(0)=0, \quad g(1)=\frac{1}{2}, \quad g'(0)=0
提示：注意符号和计算准确性。
步骤 4/6
目标：对 $g(x)$ 在区间 $[-1,0]$ 和 $[0,1]$ 分别应用拉格朗日中值定理
在 $[-1,0]$ 上，存在 $c_1 \in (-1,0)$ 使得 $g'(c_1) = \frac{g(0)-g(-1)}{0-(-1)} = \frac{0 - (-\frac{1}{2})}{1} = \frac{1}{2}$。
在 $[0,1]$ 上，存在 $c_2 \in (0,1)$ 使得 $g'(c_2) = \frac{g(1)-g(0)}{1-0} = \frac{\frac{1}{2} - 0}{1} = \frac{1}{2}$。
公式：g'(c_1) = \frac{1}{2}, \quad g'(c_2) = \frac{1}{2}
提示：注意 $c_1$ 和 $c_2$ 分别在 $0$ 的两侧，且导数值相等。
步骤 5/6
目标：对 $g'(x)$ 在区间 $[c_1, c_2]$ 上应用罗尔定理
由于 $g'(c_1)=g'(c_2)=\frac{1}{2}$，且 $g'(x)$ 在 $[c_1, c_2]$ 上可导（因为 $f$ 二阶可导），由罗尔定理，存在 $\xi \in (c_1, c_2) \subset (-1,1)$ 使得 $g''(\xi)=0$。
公式：g''(\xi)=0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，且端点值相等。
步骤 6/6
目标：回到原函数，得出结论
由 $g''(x)=f''(x)-1$，得 $f''(\xi)-1=0$，即 $f''(\xi)=1$。因此存在 $\xi \in (-1,1)$ 使得 $f''(\xi)=1$。
公式：f''(\xi)=1
提示：注意 $\xi$ 的范围是 $(-1,1)$。
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