广西民族大学 2025年数学分析第0题

定义辅助函数 \( F(x) = f(x) + x - 1 \)，由 \( f(x) \) 在 \([0,1]\) 上连续、在 \((0,1)\) 内可导，可知 \( F(x) \) 也在 \([0,1]\) 上连续、在 \((0,1)\) 内可导。计算端点值：\( F(0) = f(0) + 0 - 1 = -1 < 0 \)，\( F(1) = f(1) + 1 - 1 = 1 > 0 \)。

由于 \( F(0) < 0 \)，\( F(1) > 0 \)，且 \( F(x) \) 在 \([0,1]\) 上连续，由连续函数的介值定理，存在 \( \xi \in (0,1) \) 使得 \( F(\xi) = 0 \)，即 \( f(\xi) + \xi - 1 = 0 \)，从而 \( f(\xi) = 1 - \xi \)。

由 \( f(x) \) 在 \([0, \xi]\) 上连续、在 \((0, \xi)\) 内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 \( \eta \in (0, \xi) \) 使得 \( f'(\eta) = \frac{f(\xi) - f(0)}{\xi - 0} = \frac{(1 - \xi) - 0}{\xi} = \frac{1 - \xi}{\xi} \)。

类似地，在区间 \([\xi, 1]\) 上应用拉格朗日中值定理，存在 \( \zeta \in (\xi, 1) \) 使得 \( f'(\zeta) = \frac{f(1) - f(\xi)}{1 - \xi} = \frac{1 - (1 - \xi)}{1 - \xi} = \frac{\xi}{1 - \xi} \)。

计算 \( f'(\eta) \cdot f'(\zeta) = \frac{1 - \xi}{\xi} \cdot \frac{\xi}{1 - \xi} = 1 \)。又因为 \( \eta \in (0, \xi) \)，\( \zeta \in (\xi, 1) \)，显然 \( \eta < \xi < \zeta \)，故 \( \eta \) 与 \( \zeta \) 是两个不同的点。