广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．计算第二型曲线积分 $I=\int_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是抛物线的一段：$y=x^{2},-1 \leq x \leq 1$ ，方向由点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出积分表达式并明确路径
题目要求计算第二型曲线积分 $I = \int_L (x^2 - 2xy) \, dx + (y^2 - 2xy) \, dy$，其中 $L$ 是抛物线 $y = x^2$ 上从 $(-1,1)$ 到 $(1,1)$ 的一段，$x$ 从 $-1$ 到 $1$。
公式：I = \int_L P\,dx + Q\,dy
提示：注意曲线方向是从左到右，参数化时 $x$ 从 $-1$ 到 $1$。
步骤 2/5
目标：将曲线参数化
取 $x$ 为参数，则 $y = x^2$，$dy = 2x\,dx$，$x$ 从 $-1$ 到 $1$。
公式：y = x^2, \quad dy = 2x\,dx
提示：参数化时注意 $dy$ 的表达式要正确求导。
步骤 3/5
目标：代入被积表达式并化简
第一项：$(x^2 - 2xy)\,dx = (x^2 - 2x \cdot x^2)\,dx = (x^2 - 2x^3)\,dx$。第二项：$(y^2 - 2xy)\,dy = (x^4 - 2x \cdot x^2) \cdot 2x\,dx = (x^4 - 2x^3) \cdot 2x\,dx = (2x^5 - 4x^4)\,dx$。合并得被积函数：$2x^5 - 4x^4 - 2x^3 + x^2$。
公式：I = \int_{-1}^{1} (2x^5 - 4x^4 - 2x^3 + x^2)\,dx
提示：代入时小心符号和乘法，合并同类项。
步骤 4/5
目标：计算定积分
逐项积分：$\int 2x^5\,dx = \frac{1}{3}x^6$，$\int -4x^4\,dx = -\frac{4}{5}x^5$，$\int -2x^3\,dx = -\frac{1}{2}x^4$，$\int x^2\,dx = \frac{1}{3}x^3$。原函数 $F(x) = \frac{1}{3}x^6 - \frac{4}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3$。
公式：F(x) = \frac{1}{3}x^6 - \frac{4}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3
提示：积分时注意系数化简，如 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
步骤 5/5
目标：代入上下限并求值
计算 $F(1) = \frac{1}{3} - \frac{4}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = -\frac{19}{30}$。计算 $F(-1) = \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$。则 $I = F(1) - F(-1) = -\frac{19}{30} - \frac{3}{10} = -\frac{19}{30} - \frac{9}{30} = -\frac{28}{30} = -\frac{14}{15}$。
公式：I = F(1) - F(-1) = -\frac{14}{15}
提示：代入 $x=-1$ 时注意奇偶次幂的符号，$(-1)^5=-1$，$(-1)^3=-1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。