广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $a_{n} \geq 0(n=1,2,3$,$\displaystyle ) ，证明：级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)\left(1+a_{n}\right)}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义通项与部分积
记 $P_n = (1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)$，则级数的第 $n$ 项为 $\frac{a_n}{P_n}$。定义 $P_0 = 1$。
公式：P_n = \prod_{k=1}^n (1+a_k)
提示：注意 $P_0$ 是空乘积，值为1。
步骤 2/5
目标：将通项裂项
计算 $\frac{1}{P_{n-1}} - \frac{1}{P_n}$：由于 $P_n = P_{n-1}(1+a_n)$，有 $P_n - P_{n-1} = P_{n-1}a_n$，因此
\[
\frac{1}{P_{n-1}} - \frac{1}{P_n} = \frac{P_n - P_{n-1}}{P_{n-1}P_n} = \frac{P_{n-1}a_n}{P_{n-1}P_n} = \frac{a_n}{P_n}.
\]
公式：\frac{a_n}{P_n} = \frac{1}{P_{n-1}} - \frac{1}{P_n}
提示：裂项的关键是分子 $a_n$ 恰好等于 $(1+a_n)-1$，但这里直接通过差商推导更简洁。
步骤 3/5
目标：求部分和
部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{P_n} = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{P_{n-1}} - \frac{1}{P_n} \right)$，这是一个 telescoping sum（裂项相消），所以
\[
S_N = \frac{1}{P_0} - \frac{1}{P_N} = 1 - \frac{1}{P_N}.
\]
公式：S_N = 1 - \frac{1}{P_N}
提示：注意 $P_0=1$，中间项全部抵消。
步骤 4/5
目标：分析 $P_N$ 的性质
由于 $a_n \ge 0$，有 $1+a_n \ge 1$，因此 $P_N = \prod_{k=1}^N (1+a_k) \ge 1$，且 $P_N$ 关于 $N$ 单调不减。于是 $\frac{1}{P_N}$ 单调递减且有下界 $0$，故极限 $\lim_{N\to\infty} \frac{1}{P_N}$ 存在。
公式：P_N \ge 1, \quad \frac{1}{P_N} \downarrow 0 \text{ 或趋于某个正数}
提示：单调有界数列必有极限，这是收敛性的关键。
步骤 5/5
目标：证明级数收敛
由 $S_N = 1 - \frac{1}{P_N}$ 及 $\lim_{N\to\infty} \frac{1}{P_N}$ 存在，得 $\lim_{N\to\infty} S_N$ 存在且有限，故级数收敛。进一步，级数的和为 $1 - \lim_{N\to\infty} \frac{1}{P_N} = 1 - \frac{1}{\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)}$，若无穷乘积发散到无穷，则和为 $1$。
公式：\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{P_n} = 1 - \frac{1}{\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)}
提示：无穷乘积可能发散到无穷，此时 $\frac{1}{P_N}\to 0$，和为1。
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