广西民族大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(x) \leq 0, f^{\prime}(x) \geq 0$ ．若 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：
$$
2 \int_{0}^{1} F(t) \mathrm{d} t \leq F(x) \leq x F(1), x \in(0,1) .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解已知条件与待证不等式
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(x) \leq 0$，$f'(x) \geq 0$，因此 $f(x)$ 单调递增且非正。定义 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$，则 $F(0)=0$，且由于 $f(x) \leq 0$，$F(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。需要证明对任意 $x \in (0,1)$，有 $2 \int_0^1 F(t) dt \leq F(x) \leq x F(1)$。
公式：F(x) = \int_0^x f(t) dt, \quad f(x) \leq 0, \quad f'(x) \geq 0
提示：注意 $F(x)$ 是递减的，且 $F(1) = \int_0^1 f(t) dt$ 是负数。
步骤 2/7
目标：证明右边不等式 $F(x) \leq x F(1)$
考虑函数 $g(x) = \frac{F(x)}{x}$（$x>0$），求导得 $g'(x) = \frac{x f(x) - F(x)}{x^2}$。由于 $f$ 递增，对任意 $t \in [0,x]$ 有 $f(t) \leq f(x)$，积分得 $\int_0^x f(t) dt \leq x f(x)$，即 $F(x) \leq x f(x)$，故分子 $x f(x) - F(x) \geq 0$，所以 $g'(x) \geq 0$，$g(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增。于是对任意 $x \in (0,1)$，有 $g(x) \leq g(1) = F(1)$，即 $\frac{F(x)}{x} \leq F(1)$，从而 $F(x) \leq x F(1)$。
公式：g(x) = \frac{F(x)}{x}, \quad g'(x) = \frac{x f(x) - F(x)}{x^2} \geq 0
提示：利用 $f$ 的递增性比较 $f(t)$ 与 $f(x)$ 的大小，注意 $f(x) \leq 0$ 不影响不等式方向。
步骤 3/7
目标：将左边不等式转化为证明 $F(1) \geq 2 \int_0^1 F(t) dt$
由于 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上递减，最小值在 $x=1$ 处取得，即 $F(x) \geq F(1)$ 对所有 $x \in (0,1)$ 成立。因此要证 $2 \int_0^1 F(t) dt \leq F(x)$，只需证 $2 \int_0^1 F(t) dt \leq F(1)$，即 $F(1) \geq 2 \int_0^1 F(t) dt$。
公式：F(x) \geq F(1), \quad \forall x \in (0,1)
提示：利用 $F$ 的单调性将依赖于 $x$ 的不等式转化为常数不等式。
步骤 4/7
目标：交换积分次序化简 $\int_0^1 F(t) dt$
计算 $\int_0^1 F(t) dt = \int_0^1 \left( \int_0^t f(s) ds \right) dt$。交换积分次序：积分区域为 $0 \leq s \leq t \leq 1$，即 $s \leq t \leq 1$，$0 \leq s \leq 1$，于是 $\int_0^1 F(t) dt = \int_0^1 \left( \int_s^1 dt \right) f(s) ds = \int_0^1 f(s) (1-s) ds$。
公式：\int_0^1 F(t) dt = \int_0^1 f(s) (1-s) ds
提示：交换积分次序时注意积分限的变换，$t$ 从 $s$ 到 $1$。
步骤 5/7
目标：将 $F(1) \geq 2 \int_0^1 F(t) dt$ 转化为积分不等式
由 $F(1) = \int_0^1 f(s) ds$ 及上一步结果，要证 $\int_0^1 f(s) ds \geq 2 \int_0^1 f(s) (1-s) ds$，移项得 $\int_0^1 f(s) [1 - 2(1-s)] ds = \int_0^1 f(s) (2s-1) ds \geq 0$。
公式：\int_0^1 f(s) (2s-1) ds \geq 0
提示：将常数不等式转化为关于 $f(s)$ 的积分不等式，便于利用 $f$ 的单调性。
步骤 6/7
目标：利用 $f$ 的单调性证明积分不等式
函数 $2s-1$ 在 $[0,1/2]$ 上非正，在 $[1/2,1]$ 上非负。由于 $f$ 递增，在 $[0,1/2]$ 上 $f(s) \leq f(1/2)$，在 $[1/2,1]$ 上 $f(s) \geq f(1/2)$。因此：
$$\int_0^{1/2} f(s)(2s-1) ds \geq f(1/2) \int_0^{1/2} (2s-1) ds = f(1/2) \cdot (-1/4)$$
$$\int_{1/2}^1 f(s)(2s-1) ds \geq f(1/2) \int_{1/2}^1 (2s-1) ds = f(1/2) \cdot (1/4)$$
两式相加得 $\int_0^1 f(s)(2s-1) ds \geq 0$，原不等式成立。
公式：\int_0^{1/2} (2s-1) ds = -\frac{1}{4}, \quad \int_{1/2}^1 (2s-1) ds = \frac{1}{4}
提示：利用 $f$ 的单调性将 $f(s)$ 替换为 $f(1/2)$ 进行放缩，注意 $2s-1$ 的符号。
步骤 7/7
目标：总结结论
由右边不等式 $F(x) \leq x F(1)$ 和左边不等式 $2 \int_0^1 F(t) dt \leq F(x)$ 均得证，故原命题成立。
公式：2 \int_0^1 F(t) dt \leq F(x) \leq x F(1), \quad \forall x \in (0,1)
提示：注意 $F(1)$ 为负数，$x F(1)$ 也为负数，不等式方向合理。
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