新疆大学 2026年数学分析第7题

考虑积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x}{1-e^{x}} \mathrm{~d} x$。当 $x \to +\infty$ 时，$e^x$ 增长极快，因此 $1-e^x \sim -e^x$，被积函数 $\frac{x}{1-e^x} \sim -\frac{x}{e^x}$。由于指数衰减 $\frac{x}{e^x}$ 的积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{x}{e^x} \mathrm{~d} x$ 收敛（可通过比较判别法或直接计算原函数 $-(x+1)e^{-x}$ 验证），故无穷远处积分收敛。

在 $x=1$ 处，分母 $1-e^1 = 1-e \neq 0$，分子 $1$ 有限，因此被积函数在 $x=1$ 处连续，不是瑕点。积分区间 $[1, +\infty)$ 上唯一的潜在发散点只有无穷远。

由于无穷远处被 $x e^{-x}$ 控制且积分收敛，且 $x=1$ 处正常，因此原积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x}{1-e^{x}} \mathrm{~d} x$ 收敛。

考虑积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$。当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，但分母 $1-x \to 1$，因此被积函数 $\sim \ln x$。积分 $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x$ 收敛（原函数为 $x\ln x - x$，在 $x=0$ 处极限为 $0$），故 $x=0$ 不是瑕点。

当 $x \to 1^-$ 时，令 $t = 1-x$，则 $t \to 0^+$，$\ln x = \ln(1-t) \sim -t - \frac{t^2}{2} - \cdots$，因此 $\frac{\ln x}{1-x} = \frac{\ln(1-t)}{t} \sim -1 - \frac{t}{2} - \cdots$，趋于常数 $-1$。所以 $x=1$ 是被积函数的可去奇点，不是瑕点。

两个端点 $x=0$ 和 $x=1$ 都不是瑕点，被积函数在 $(0,1)$ 上连续，因此积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ 收敛。实际上该积分值为 $-\frac{\pi^2}{6}$，但题目只要求判断敛散性。