武汉理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2026}{n}-\arctan \frac{2026}{n+1}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察极限结构，确定使用泰勒展开
极限为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2026}{n}-\arctan \frac{2026}{n+1}\right)$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{2026}{n}$ 和 $\frac{2026}{n+1}$ 都是小量，因此考虑对 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处进行泰勒展开：$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$。
公式：\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)
提示：注意两个自变量都趋于0，适合用泰勒展开处理差值。
步骤 2/6
目标：分别展开两项
第一项：$\arctan\frac{2026}{n} = \frac{2026}{n} - \frac{1}{3}\left(\frac{2026}{n}\right)^3 + O\left(\frac{1}{n^5}\right)$。
第二项：$\arctan\frac{2026}{n+1} = \frac{2026}{n+1} - \frac{1}{3}\left(\frac{2026}{n+1}\right)^3 + O\left(\frac{1}{(n+1)^5}\right)$。
公式：\arctan\frac{a}{n} = \frac{a}{n} - \frac{a^3}{3n^3} + O\left(\frac{1}{n^5}\right)
提示：展开时注意保留到足够阶数，以便后续分析差值的主项。
步骤 3/6
目标：作差并提取主项
两式相减：
$$\arctan\frac{2026}{n} - \arctan\frac{2026}{n+1} = \left(\frac{2026}{n} - \frac{2026}{n+1}\right) - \frac{2026^3}{3}\left(\frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3}\right) + \cdots$$
其中线性部分：$\frac{2026}{n} - \frac{2026}{n+1} = 2026 \cdot \frac{1}{n(n+1)}$。
公式：\frac{2026}{n} - \frac{2026}{n+1} = \frac{2026}{n(n+1)}
提示：线性差是主项，立方差是高阶小量。
步骤 4/6
目标：分析立方项的阶数
计算立方差：
$$\frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} = \frac{(n+1)^3 - n^3}{n^3(n+1)^3} = \frac{3n^2 + 3n + 1}{n^3(n+1)^3}$$
当 $n \to \infty$ 时，分子 ~ $3n^2$，分母 ~ $n^6$，因此该项 ~ $\frac{3}{n^4}$，即 $O\left(\frac{1}{n^4}\right)$。所以立方项贡献为 $O\left(\frac{1}{n^4}\right)$。
公式：\frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} = O\left(\frac{1}{n^4}\right)
提示：立方差比线性差衰减更快，是更高阶无穷小。
步骤 5/6
目标：乘以 n² 并求极限
原极限为：
$$\lim_{n \to \infty} n^2 \left[ \frac{2026}{n(n+1)} + O\left(\frac{1}{n^4}\right) \right] = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2026 n^2}{n(n+1)} + n^2 \cdot O\left(\frac{1}{n^4}\right) \right)$$
第一项化简：$\frac{2026 n}{n+1} = 2026 \cdot \frac{n}{n+1} \to 2026$。
第二项：$n^2 \cdot O\left(\frac{1}{n^4}\right) = O\left(\frac{1}{n^2}\right) \to 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{2026 n}{n+1} = 2026
提示：注意 $n^2$ 乘以 $O(1/n^4)$ 后趋于0，不影响极限。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原极限值为 $2026$。
公式：\boxed{2026}
提示：最终答案是一个常数，与题目中的数字2026一致。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。