📝 武汉理工大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2026}{n}-\arctan \frac{2026}{n+1}\right)$ ．

2．设 $z=z(x, y)$ 由 $f(z-x, z-y)=0$ 所确定，其中 $f(u, v)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v} \neq 0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ ．

3．已知 $\displaystyle f(x)=\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{1}{1+\tan y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．

4．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $S$ 为 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ，方向向上．

5．求由方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的所有极值，并判断是极大值还是极小值．

6．求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n(x-1)^{n}$ 的收玫域与和函数．

1．已知二元函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}+x^{2} y+x y^{2}+2 y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
$$

（1）判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的连续性．
（2）判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的两个一阶偏导数是否存在？若存在请求其值．
（3）判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的可微性，请详细说明理由．

2．当 $p>0$ 时，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right)$ 在 $p$ 为何值时绝对收敛，条件收玫及发散．

1．证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{\ln (n x)}{n x^{2}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛．

2．证明：$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充分必要条件为对任意 $(0,1)$ 中的柯西列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为柯西列．

3．证明：数列 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ 收敛．

4．解答如下问题：
（1）设 $k$ 为正整数，证明： $\displaystyle \int_{(k-1) \pi}^{k \pi} \frac{1}{1+x^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x \geq 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+k^{2} \pi^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2）证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 发散．