武汉理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．求由方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的所有极值，并判断是极大值还是极小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对原方程两边关于x求导，得到含y'的方程
给定方程 $x^{2}+2xy+2y^{2}=1$，两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，使用链式法则和乘积法则：
对 $x^2$ 求导得 $2x$；
对 $2xy$ 求导得 $2y + 2x y'$；
对 $2y^2$ 求导得 $4y y'$；
右边常数1的导数为0。
于是得到：
$$2x + 2y + 2x y' + 4y y' = 0$$
公式：2x + 2y + 2x y' + 4y y' = 0
提示：注意对 $2xy$ 求导时，$x$ 和 $y$ 都是 $x$ 的函数，必须使用乘积法则：$(2xy)' = 2y + 2x y'$。
步骤 2/6
目标：解出y'的表达式
将含 $y'$ 的项合并：
$$2x + 2y + (2x + 4y) y' = 0$$
移项得：
$$(2x + 4y) y' = -2x - 2y$$
两边同时除以 $2(x+2y)$（假设 $x+2y \neq 0$），化简得：
$$y' = -\frac{x+y}{x+2y}$$
公式：y' = -\frac{x+y}{x+2y}
提示：化简时注意公因子2可以约去，但需确保分母 $x+2y \neq 0$，否则需单独讨论。
步骤 3/6
目标：利用极值必要条件y'=0，找出候选点满足的关系
极值点处 $y' = 0$，即分子为零：
$$x + y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -x$$
公式：x + y = 0
提示：隐函数极值的必要条件与显函数相同，即一阶导数为0。
步骤 4/6
目标：将y=-x代入原方程，求出具体的候选点坐标
将 $y = -x$ 代入原方程 $x^{2}+2xy+2y^{2}=1$：
$$x^2 + 2x(-x) + 2(-x)^2 = 1$$
$$x^2 - 2x^2 + 2x^2 = 1$$
$$x^2 = 1$$
解得 $x = 1$ 或 $x = -1$，对应的 $y = -1$ 或 $y = 1$。
得到两个候选极值点：$(1, -1)$ 和 $(-1, 1)$。
公式：x^2 = 1
提示：代入计算时要仔细，注意符号：$2x(-x) = -2x^2$，$2(-x)^2 = 2x^2$。
步骤 5/6
目标：求二阶导数y''，并代入候选点判断极值类型
对 $y' = -\frac{x+y}{x+2y}$ 再对 $x$ 求导，使用商法则。设 $u = x+y$，$v = x+2y$，则 $y' = -u/v$。
$$y'' = -\frac{u'v - uv'}{v^2}$$
其中 $u' = 1 + y'$，$v' = 1 + 2y'$。
代入得：
$$y'' = -\frac{(1+y')(x+2y) - (x+y)(1+2y')}{(x+2y)^2}$$
在极值点处 $y' = 0$ 且 $y = -x$，因此 $x+y=0$。
- 对于点 $(1, -1)$：$x+2y = 1 + 2(-1) = -1$，代入得：
$$y'' = -\frac{(1+0)(-1) - 0}{(-1)^2} = -\frac{-1}{1} = 1 > 0$$，故为极小值。
- 对于点 $(-1, 1)$：$x+2y = -1 + 2(1) = 1$，代入得：
$$y'' = -\frac{(1+0)(1) - 0}{1^2} = -1 < 0$$，故为极大值。
公式：y'' = -\frac{(1+y')(x+2y) - (x+y)(1+2y')}{(x+2y)^2}
提示：代入极值点前，先利用 $y'=0$ 和 $x+y=0$ 简化表达式，避免复杂计算。注意二阶导数的符号判断：$y''>0$ 为极小值，$y''<0$ 为极大值。
步骤 6/6
目标：写出极值结果
由以上计算可得：
- 当 $x = 1$ 时，$y = -1$，为极小值；
- 当 $x = -1$ 时，$y = 1$，为极大值。
公式：y_{\text{极小}} = -1 \ (x=1), \quad y_{\text{极大}} = 1 \ (x=-1)
提示：极值是指函数值 $y$，而不是坐标点。注意区分。
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