武汉理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．当 $p>0$ 时，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right)$ 在 $p$ 为何值时绝对收敛，条件收玫及发散．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析通项在n→∞时的渐近行为
当 $n\to\infty$ 时，$x = \frac{(-1)^n}{n^p} \to 0$，利用 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$ 展开，得到：
$$
\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right) = \frac{(-1)^n}{n^p} - \frac{1}{2n^{2p}} + O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right).
$$
公式：\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)
提示：注意展开式中的余项阶数，确保后续比较判别法适用。
步骤 2/7
目标：判断绝对收敛的条件
绝对收敛要求 $\sum \left|\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right)\right|$ 收敛。当 $n$ 充分大时，$\left|\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right)\right| \sim \frac{1}{n^p}$。而 $\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛当且仅当 $p>1$。因此当 $p>1$ 时级数绝对收敛；当 $0
公式：\left|\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right)\right| \sim \frac{1}{n^p}
提示：不要忽略绝对值下的主项，p-级数的收敛条件是 $p>1$。
步骤 3/7
目标：将原级数分解为三个部分
由第一步的展开，原级数可写为：
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^p} - \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2p}} + \sum_{n=2}^{\infty} O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right).
$$
分别分析三个级数的收敛性。
公式：\sum a_n = \sum \frac{(-1)^n}{n^p} - \frac12 \sum \frac{1}{n^{2p}} + \sum O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right)
提示：分解后的级数需单独判断收敛性，注意交错项与正项级数的区别。
步骤 4/7
目标：分析交错项 $\sum \frac{(-1)^n}{n^p}$ 的收敛性
对于任意 $p>0$，$\frac{1}{n^p}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^p}$ 收敛。
公式：\text{莱布尼茨判别法：} a_n \searrow 0 \Rightarrow \sum (-1)^n a_n \text{ 收敛}
提示：莱布尼茨判别法只要求通项绝对值单调递减趋于0，与p的具体值无关（p>0）。
步骤 5/7
目标：分析 $\sum \frac{1}{n^{2p}}$ 和余项的收敛性
$\sum \frac{1}{n^{2p}}$ 是p-级数，收敛当且仅当 $2p>1$，即 $p>\frac12$。
余项 $\sum O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right)$ 的收敛性取决于 $3p>1$，即 $p>\frac13$。当 $p>\frac13$ 时余项绝对收敛；当 $0
公式：\sum \frac{1}{n^{\alpha}} \text{ 收敛 } \iff \alpha > 1
提示：注意余项的大O记号表示有界倍数，不影响发散性判断，只需看指数。
步骤 6/7
目标：综合讨论不同p区间下级数的收敛性
分情况讨论：
- 当 $p>1$ 时，绝对收敛。
- 当 $\frac12 < p \le 1$ 时：交错项收敛，$\sum \frac{1}{n^{2p}}$ 收敛，余项收敛（因 $p>\frac13$），故原级数收敛，但绝对值发散，所以条件收敛。
- 当 $\frac13 < p \le \frac12$ 时：交错项收敛，但 $\sum \frac{1}{n^{2p}}$ 发散（$2p\le1$），余项收敛，故原级数发散。
- 当 $0 < p \le \frac13$ 时：交错项收敛，$\sum \frac{1}{n^{2p}}$ 发散，余项也发散（$3p\le1$），故原级数发散。
公式：\text{收敛性由主部 } -\frac12\sum\frac{1}{n^{2p}} \text{ 决定}
提示：注意边界 $p=\frac12$ 时 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，$p=1$ 时条件收敛。
步骤 7/7
目标：给出最终结论
综上所述：
- 绝对收敛：$p>1$；
- 条件收敛：$\frac12 < p \le 1$；
- 发散：$0 < p \le \frac12$。
公式：\boxed{\text{绝对收敛：}p>1;\quad \text{条件收敛：}\frac12
提示：注意 $p=1$ 属于条件收敛，$p=\frac12$ 属于发散。
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