武汉理工大学 2026年数学分析第0题

考虑相邻两项的差： \[ a_{n+1} - a_n = \left( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n+1} \right) - \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n} \right) = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 2\left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right). \] 利用有理化公式： \[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}, \] 代入得： \[ a_{n+1} - a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}. \] 通分后： \[ a_{n+1} - a_n = \frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) - 2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} < 0. \] 因此数列严格递减。

函数 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) 在 \([1, +\infty)\) 上单调递减，因此有积分不等式： \[ \int_{1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \le 1 + \int_{1}^{n} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx. \] 计算积分： \[ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x}, \] 所以左边不等式给出： \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \ge 2\sqrt{n+1} - 2. \] 代入 \(a_n\) 表达式： \[ a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n} \ge (2\sqrt{n+1} - 2) - 2\sqrt{n} = 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) - 2. \] 由于 \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} > 0\)，故 \(a_n > -2\)，即数列有下界。

由前两步已证： - 数列 \(\{a_n\}\) 严格单调递减； - 数列 \(\{a_n\}\) 有下界（例如 \(-2\)）。 根据实数理论中的单调有界定理：单调递减且有下界的数列必然收敛。因此 \(\lim_{n \to \infty} a_n\) 存在且有限。

该极限是一个著名的常数，与黎曼ζ函数在 \(s = \frac{1}{2}\) 处的表现有关，但本题仅要求证明收敛，无需计算极限值。实际极限可表示为： \[ \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n} \right) = \zeta\left(\frac{1}{2}\right) \text{ 的某种形式}. \] 但证明收敛只需前三个步骤。