武汉理工大学 2026年数学分析第0题

要判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否连续，需验证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。采用极坐标代换：令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，则 $x^2+y^2=r^2$。分子化为 $r^3(\cos^3\theta+\cos^2\theta\sin\theta+\cos\theta\sin^2\theta)+2r^4\sin^4\theta$，因此 $f(x,y)=r(\cos^3\theta+\cos^2\theta\sin\theta+\cos\theta\sin^2\theta)+2r^2\sin^4\theta$。当 $r\to 0$ 时，第一项为 $r$ 乘有界量趋于 $0$，第二项也趋于 $0$，故极限为 $0$。

由偏导数定义：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当 $y=0$ 且 $x\neq 0$ 时，$f(h,0)=\frac{h^3+0+0+0}{h^2}=h$，代入得 $\frac{h-0}{h}=1$，极限为 $1$。

由偏导数定义：$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}$。当 $x=0$ 且 $y\neq 0$ 时，$f(0,k)=\frac{0+0+0+2k^4}{k^2}=2k^2$，代入得 $\frac{2k^2-0}{k}=2k$，当 $k\to 0$ 时极限为 $0$。

函数在 $(0,0)$ 处可微的充要条件是：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$。代入 $f(0,0)=0$, $f_x=1$, $f_y=0$，需验证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-x}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$。先计算 $f(x,y)-x$：当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$f(x,y)-x = \frac{x^3+x^2y+xy^2+2y^4}{x^2+y^2} - x = \frac{x^2y+2y^4}{x^2+y^2}$。

考虑极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y + 2y^4}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。用极坐标：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，则分子为 $r^3\cos^2\theta\sin\theta + 2r^4\sin^4\theta$，分母为 $r^3$，表达式化为 $\cos^2\theta\sin\theta + 2r\sin^4\theta$。当 $r\to 0$ 时，第二项趋于 $0$，但第一项 $\cos^2\theta\sin\theta$ 依赖于方向 $\theta$。例如取 $\theta=\pi/4$ 时值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}\neq 0$，取 $\theta=0$ 时值为 $0$，因此极限不存在（不恒为 $0$），不满足可微条件。