武汉理工大学 2026年数学分析第0题

曲面 $S$ 为下半球面 $z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，其中 $x^2 + y^2 \le a^2$。方向“向上”指法向量的 $z$ 分量大于 $0$。对于显式曲面 $z = f(x,y)$，向上的法向量为 $\left(-\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1\right)$。计算偏导数：$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$，$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$，因此法向量为 $\left(-\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}},\; -\frac{y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}},\; 1\right)$。

原积分为 $\iint_S \frac{x \, dy \, dz + z \, dx \, dy}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}$，其中 $P = \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$，$R = \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$，$Q=0$。对于曲面 $z = f(x,y)$ 方向向上，有转换公式：$dy\,dz = -\frac{\partial f}{\partial x} \, dx\,dy$，$dx\,dy$ 不变。因此积分化为：$\iint_S P\,dy\,dz = \iint_{D_{xy}} P(x,y,f(x,y)) \cdot \left(-\frac{\partial f}{\partial x}\right) dx\,dy$，$\iint_S R\,dx\,dy = \iint_{D_{xy}} R(x,y,f(x,y)) \, dx\,dy$，其中 $D_{xy}$ 为 $x^2+y^2 \le a^2$。

在曲面 $S$ 上，$x^2+y^2+z^2 = a^2$，故分母 $\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3} = a^3$。于是 $P = \frac{x}{a^3}$，$R = \frac{z}{a^3} = -\frac{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}{a^3}$。又 $-\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$。代入得：第一项 $\iint_S P\,dy\,dz = \iint_{D_{xy}} \frac{x}{a^3} \cdot \left(-\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\right) dx\,dy = -\frac{1}{a^3} \iint_{D_{xy}} \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx\,dy$；第二项 $\iint_S R\,dx\,dy = \iint_{D_{xy}} \frac{-\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}{a^3} \, dx\,dy = -\frac{1}{a^3} \iint_{D_{xy}} \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \, dx\,dy$。

总积分 $I = -\frac{1}{a^3} \iint_{D_{xy}} \left( \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} + \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \right) dx\,dy$。括号内通分：$\frac{x^2}{\sqrt{a^2 - r^2}} + \sqrt{a^2 - r^2} = \frac{x^2 + (a^2 - r^2)}{\sqrt{a^2 - r^2}}$，其中 $r^2 = x^2 + y^2$。分子 $x^2 + a^2 - r^2 = a^2 - y^2$，因此被积函数化为 $\frac{a^2 - y^2}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}$。于是 $I = -\frac{1}{a^3} \iint_{D_{xy}} \frac{a^2 - y^2}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \, dx\,dy$。

令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$0 \le r \le a$，$0 \le \theta \le 2\pi$，面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。被积函数 $\frac{a^2 - y^2}{\sqrt{a^2 - r^2}} = \frac{a^2 - r^2\sin^2\theta}{\sqrt{a^2 - r^2}}$。积分 $I = -\frac{1}{a^3} \int_0^{2\pi} \int_0^a \frac{a^2 - r^2\sin^2\theta}{\sqrt{a^2 - r^2}} \, r\,dr\,d\theta$。先对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} (a^2 - r^2\sin^2\theta) \, d\theta = a^2 \cdot 2\pi - r^2 \int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta = 2\pi a^2 - \pi r^2 = \pi(2a^2 - r^2)$。于是 $I = -\frac{\pi}{a^3} \int_0^a \frac{2a^2 - r^2}{\sqrt{a^2 - r^2}} \, r\,dr$。

令 $u = a^2 - r^2$，则 $du = -2r\,dr$，即 $r\,dr = -\frac{1}{2} du$。当 $r=0$ 时 $u=a^2$，$r=a$ 时 $u=0$。积分 $\int_0^a \frac{2a^2 - r^2}{\sqrt{a^2 - r^2}} r\,dr = \int_{a^2}^0 \frac{2a^2 - (a^2 - u)}{\sqrt{u}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_0^{a^2} \frac{a^2 + u}{\sqrt{u}} \, du = \frac{1}{2} \int_0^{a^2} \left( a^2 u^{-1/2} + u^{1/2} \right) du$。计算：$\int_0^{a^2} u^{-1/2} \, du = 2a$，$\int_0^{a^2} u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} a^3$。因此原积分 $= \frac{1}{2} \left( a^2 \cdot 2a + \frac{2}{3} a^3 \right) = \frac{1}{2} \left( 2a^3 + \frac{2}{3} a^3 \right) = \frac{4}{3} a^3$。

将径向积分结果代入 $I$：$I = -\frac{\pi}{a^3} \cdot \frac{4}{3} a^3 = -\frac{4\pi}{3}$。因此原曲面积分值为 $-\frac{4\pi}{3}$。