武汉理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．已知 $\displaystyle f(x)=\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{1}{1+\tan y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原积分表示为二重积分并交换积分次序
给定 $f(x)=\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{1}{1+\tan(y^2)} \, dy$，代入所求积分得：
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{x}} \left( \int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{1}{1+\tan(y^2)} \, dy \right) dx$$
积分区域：$x$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，对每个 $x$，$y$ 从 $\sqrt{x}$ 到 $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$。
交换次序：$y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$，对每个 $y$，$x$ 从 $0$ 到 $y^2$。于是：
$$I = \int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{1}{1+\tan(y^2)} \left( \int_{0}^{y^2} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \right) dy$$
公式：$$\iint_D \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{1+\tan(y^2)} \, dxdy$$ 交换次序后内层积分限为 $0$ 到 $y^2$
提示：注意积分区域描述：$\sqrt{x} \le y \le \sqrt{\pi/2}$ 且 $0 \le x \le \pi/2$，交换后 $0 \le y \le \sqrt{\pi/2}$，$0 \le x \le y^2$。
步骤 2/5
目标：计算内层积分
计算内层积分：
$$\int_{0}^{y^2} x^{-1/2} \, dx = \left[ 2x^{1/2} \right]_{0}^{y^2} = 2y$$
代入得：
$$I = \int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{2y}{1+\tan(y^2)} \, dy$$
公式：$$\int_{0}^{y^2} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2y$$
提示：注意 $\sqrt{x}$ 的积分是 $2\sqrt{x}$，代入上下限时小心 $y^2$ 的平方根为 $y$（$y \ge 0$）。
步骤 3/5
目标：换元简化积分
令 $t = y^2$，则 $dt = 2y \, dy$。当 $y=0$ 时 $t=0$，当 $y=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$。于是：
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan t} \, dt$$
公式：$$t = y^2, \quad dt = 2y \, dy$$
提示：换元时注意积分限的对应，以及 $2y \, dy$ 恰好与分子匹配。
步骤 4/5
目标：利用对称性计算定积分
设 $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan t} \, dt$。令 $u = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dt = -du$，且 $\tan(\frac{\pi}{2} - u) = \cot u$，于是：
$$J = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{1}{1+\cot u} (-du) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cot u} \, du$$
又因为 $\frac{1}{1+\cot u} = \frac{\tan u}{1+\tan u}$，所以 $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan t}{1+\tan t} \, dt$。
两式相加：
$$2J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\tan t}{1+\tan t} \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt = \frac{\pi}{2}$$
因此 $J = \frac{\pi}{4}$。
公式：$$2J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt = \frac{\pi}{2}$$
提示：经典对称技巧：利用 $\tan(\pi/2 - u) = \cot u$ 得到另一个表达式，相加消去分母。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
由以上计算，$I = J = \frac{\pi}{4}$。
公式：$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = \frac{\pi}{4}$$
提示：最终结果简洁，注意检查每一步的积分限和换元是否正确。
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