武汉理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $z=z(x, y)$ 由 $f(z-x, z-y)=0$ 所确定，其中 $f(u, v)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v} \neq 0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确变量关系，引入中间变量
已知方程 $f(z-x, z-y)=0$，其中 $z=z(x,y)$。令 $u=z-x$，$v=z-y$，则原方程化为 $f(u,v)=0$。$f$ 具有连续一阶偏导数，且 $f_u+f_v \neq 0$。
公式：$u=z-x,\quad v=z-y$
提示：注意 $u$ 和 $v$ 都是 $x,y$ 的函数，因为 $z$ 依赖于 $x,y$。
步骤 2/4
目标：对 $x$ 求偏导，得到 $\partial z/\partial x$ 的表达式
将方程 $f(u,v)=0$ 两边对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数）：
$$
\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}=0
$$
计算：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}-1$，$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}$。代入得：
$$
f_u\left(\frac{\partial z}{\partial x}-1\right)+f_v\cdot\frac{\partial z}{\partial x}=0
$$
整理：$(f_u+f_v)\frac{\partial z}{\partial x}-f_u=0$，解得：
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{f_u}{f_u+f_v}
$$
公式：$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{f_u}{f_u+f_v}$
提示：求导时不要忘记 $z$ 是 $x$ 的函数，$\partial u/\partial x$ 中 $z$ 对 $x$ 的导数要正确写出。
步骤 3/4
目标：对 $y$ 求偏导，得到 $\partial z/\partial y$ 的表达式
将方程 $f(u,v)=0$ 两边对 $y$ 求偏导（$x$ 视为常数）：
$$
\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}=0
$$
计算：$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial y}-1$。代入得：
$$
f_u\cdot\frac{\partial z}{\partial y}+f_v\left(\frac{\partial z}{\partial y}-1\right)=0
$$
整理：$(f_u+f_v)\frac{\partial z}{\partial y}-f_v=0$，解得：
$$
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{f_v}{f_u+f_v}
$$
公式：$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{f_v}{f_u+f_v}$
提示：注意 $\partial u/\partial y$ 和 $\partial v/\partial y$ 的符号差异，不要混淆。
步骤 4/4
目标：计算目标表达式 $\partial z/\partial x + \partial z/\partial y$
将上面两个结果相加：
$$
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{f_u}{f_u+f_v}+\frac{f_v}{f_u+f_v}=\frac{f_u+f_v}{f_u+f_v}=1
$$
条件 $f_u+f_v \neq 0$ 保证了分母不为零，因此结果为 $1$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=1$
提示：最终结果简洁，但需注意条件确保分母非零，否则表达式无意义。
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