武汉理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．证明：$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充分必要条件为对任意 $(0,1)$ 中的柯西列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为柯西列．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确题目要求，并分必要性和充分性两部分进行证明。
设 \( f(x) \) 定义在区间 \((0,1)\) 上，证明 \( f \) 在 \((0,1)\) 上一致连续的充要条件是：对任意 \((0,1)\) 中的柯西列 \(\{x_n\}\)，其像 \(\{f(x_n)\}\) 也是柯西列。
提示：注意区分一致连续与连续的定义，柯西列的定义也要清晰。
步骤 2/5
目标：必要性证明：若一致连续，则像保持柯西性。
假设 \( f \) 在 \((0,1)\) 上一致连续。由定义：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意 \(x, y \in (0,1)\)，只要 \(|x - y| < \delta\)，就有 \(|f(x)-f(y)| < \varepsilon\)。现在取任意一个 \((0,1)\) 中的柯西列 \(\{x_n\}\)。对于上面给出的 \(\delta > 0\)，因为 \(\{x_n\}\) 是柯西列，存在 \(N\)，使得当 \(m, n > N\) 时，有 \(|x_m - x_n| < \delta\)。于是由一致连续性，当 \(m, n > N\) 时，有 \(|f(x_m)-f(x_n)| < \varepsilon\)。这说明 \(\{f(x_n)\}\) 也是柯西列。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y\in(0,1): |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon
提示：注意一致连续中的 \(\delta\) 只依赖于 \(\varepsilon\)，不依赖于 \(x,y\) 的位置，这是与普通连续的关键区别。
步骤 3/5
目标：充分性证明：若像保持柯西性，则一致连续。采用反证法。
假设 \( f \) 在 \((0,1)\) 上不一致连续。那么存在某个 \(\varepsilon_0 > 0\)，使得对任意 \(\delta > 0\)，都能找到两点 \(x, y \in (0,1)\)，满足 \(|x - y| < \delta\) 但 \(|f(x)-f(y)| \ge \varepsilon_0\)。特别地，对每个自然数 \(n\)，取 \(\delta = 1/n\)，则存在两点 \(x_n, y_n \in (0,1)\)，使得 \(|x_n - y_n| < \frac{1}{n}\)，\(|f(x_n)-f(y_n)| \ge \varepsilon_0\)。
公式：\exists \varepsilon_0>0, \forall \delta>0, \exists x,y\in(0,1): |x-y|<\delta \text{ 且 } |f(x)-f(y)|\ge\varepsilon_0
提示：不一致连续的否定形式要写准确，注意量词顺序。
步骤 4/5
目标：构造一个柯西列，使其像不是柯西列，导出矛盾。
构造数列：取 \(z_{2k-1} = x_k\)，\(z_{2k} = y_k\)。因为 \(|x_k - y_k| \to 0\)，所以这个交错序列 \(\{z_n\}\) 是柯西列（任意两项的差最终会很小）。但它的像 \(\{f(z_n)\}\) 中，相邻的奇数项和偶数项的函数值之差始终 \(\ge \varepsilon_0\)，因此这个像序列不是柯西列（因为存在固定的正数 \(\varepsilon_0\) 使得无论下标多大，总可以找到距离大于等于 \(\varepsilon_0\) 的两项）。这与题设条件矛盾，所以假设不成立，\(f\) 必须一致连续。
公式：|z_{2k-1} - z_{2k}| = |x_k - y_k| < \frac{1}{k} \to 0; \quad |f(z_{2k-1}) - f(z_{2k})| \ge \varepsilon_0
提示：交错序列的柯西性需要验证：任意两项的差可以通过三角不等式控制，注意奇数项和偶数项分别趋于同一极限。
步骤 5/5
目标：总结结论。
我们已经证明了必要性及充分性，因此原命题成立：\(f(x)\) 在 \((0,1)\) 上一致连续的充要条件是对任意 \((0,1)\) 中的柯西列 \(\{x_n\}\)，\(\{f(x_n)\}\) 也是柯西列。
提示：该结论是函数一致连续的一个重要刻画，常用于判断函数是否一致连续。
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