武汉理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{\ln (n x)}{n x^{2}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定极限函数
对于任意固定的 $x>1$，当 $n \to \infty$ 时，有 $f_n(x)=\frac{\ln(nx)}{n x^2} = \frac{\ln n + \ln x}{n x^2}$。分子中的 $\ln n$ 虽趋于无穷，但分母 $n$ 增长更快，因此 $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$。故极限函数为 $f(x)=0$。
公式：\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0
提示：注意 $\ln(nx)=\ln n+\ln x$，不要遗漏 $\ln x$ 项，但该项不影响极限。
步骤 2/6
目标：建立一致收敛的判别标准
要证明 $f_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$，需证明 $\displaystyle \sup_{x>1} |f_n(x)-0| \to 0 \quad (n\to\infty)$。即估计 $M_n = \sup_{x>1} \frac{|\ln(nx)|}{n x^2}$ 并证明 $M_n\to 0$。
公式：M_n = \sup_{x>1} \frac{|\ln(nx)|}{n x^2}
提示：一致收敛要求上确界趋于0，而非逐点极限。
步骤 3/6
目标：分析函数单调性以确定上确界位置
考虑 $g_n(x)=\frac{\ln n + \ln x}{n x^2}$（$x>1$ 时 $\ln(nx)>0$，绝对值可去掉）。求导：$g_n'(x)=\frac{1}{n}\cdot \frac{x - 2x(\ln n+\ln x)}{x^4} = \frac{1-2(\ln n+\ln x)}{n x^3}$。令导数为0得 $\ln(nx)=\frac12$，即 $x=\frac{\sqrt{e}}{n}$。当 $n$ 较大时该极值点小于1，不在区间 $(1,+\infty)$ 内。对于 $x>1$，$\ln(nx)>\ln n$，当 $n$ 足够大时 $\ln(nx)>\frac12$，故导数为负，函数在 $(1,+\infty)$ 上单调递减。
公式：g_n'(x)=\frac{1-2(\ln n+\ln x)}{n x^3}
提示：注意极值点可能不在定义域内，需根据定义域判断单调性。
步骤 4/6
目标：计算上确界
由于 $g_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，最大值在左端点 $x=1$ 处取得（区间开，取右极限）。故 $\displaystyle \sup_{x>1} g_n(x) = \lim_{x\to 1^+} \frac{\ln(nx)}{n x^2} = \frac{\ln n}{n}$。因此 $M_n = \frac{\ln n}{n}$。
公式：M_n = \frac{\ln n}{n}
提示：注意区间是开区间，上确界可能不在区间内，但极限值即为上确界。
步骤 5/6
目标：验证上确界趋于零
由数学分析中常见极限，$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n}=0$。因此 $M_n\to 0$，满足一致收敛定义。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n}=0
提示：可用洛必达法则或已知结论证明该极限。
步骤 6/6
目标：得出结论
综上，函数列 $f_n(x)=\frac{\ln(nx)}{n x^{2}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$。
提示：一致收敛性得证，注意区间为无穷区间，但放缩后仍有效。
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