武汉理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n(x-1)^{n}$ 的收玫域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定幂级数的中心与系数
幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n (x-1)^n$，中心为 $x_0=1$，系数 $a_n = (-1)^{n-1} n$。
公式：$a_n = (-1)^{n-1} n$
提示：注意幂级数的一般形式为 $\sum a_n (x-x_0)^n$，这里 $x_0=1$。
步骤 2/6
目标：求收敛半径
使用比值法：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1$，因此收敛半径 $R=1$。
公式：$R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|} = 1$
提示：比值法适用于系数为多项式的情况，注意极限值为1时半径即为1。
步骤 3/6
目标：确定收敛区间并检查端点
由 $|x-1|<1$ 得 $0
公式：收敛域：$(0,2)$
提示：端点必须单独代入判断，通项不趋于0则级数必发散。
步骤 4/6
目标：将幂级数转化为已知求和公式的形式
注意到 $(-1)^{n-1} = -(-1)^n$，则原级数可写为 $-\sum_{n=1}^{\infty} n [-(x-1)]^n$。令 $u = -(x-1) = 1-x$，则当 $|u|<1$ 时，有公式 $\sum_{n=1}^{\infty} n u^n = \frac{u}{(1-u)^2}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n u^n = \frac{u}{(1-u)^2},\ |u|<1$
提示：注意符号变换：$(-1)^{n-1}(x-1)^n = -[-(x-1)]^n$，不要漏掉负号。
步骤 5/6
目标：代入并化简得到和函数
原级数 $S(x) = -\frac{u}{(1-u)^2}$，将 $u=1-x$ 代入得：
$S(x) = -\frac{1-x}{(1-(1-x))^2} = -\frac{1-x}{x^2} = \frac{x-1}{x^2}$。
公式：$S(x) = \frac{x-1}{x^2}$
提示：化简时注意分母 $x^2$，定义域为 $(0,2)$，$x=0$ 不在收敛域内。
步骤 6/6
目标：验证和函数
取 $x=1.5$，原级数前几项：$n=1$ 项为 $(-1)^0 \cdot 1 \cdot (0.5)^1 = 0.5$，$n=2$ 项为 $(-1)^1 \cdot 2 \cdot (0.5)^2 = -0.5$，$n=3$ 项为 $(-1)^2 \cdot 3 \cdot (0.5)^3 = 0.375$，部分和 $S_3=0.375$；和函数值 $S(1.5)=\frac{1.5-1}{1.5^2}=\frac{0.5}{2.25}\approx0.2222$，随着项数增加，部分和趋近于该值，验证正确。
公式：无
提示：验证可选取收敛域内一点，计算部分和与和函数值比较，注意级数收敛较慢时可多取几项。
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