江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2、设 $\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}$ 在区间 $I$ 上一致收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}$ 在区间 $I$ 上绝对收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确题目要判断的命题
题目给出命题：若函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} U_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛，则它也在 $I$ 上绝对收敛。我们需要判断该命题的真伪。
提示：注意区分一致收敛与绝对收敛的定义，两者没有必然的蕴含关系。
步骤 2/6
目标：回忆一致收敛与绝对收敛的定义
一致收敛：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得当 $n>N$ 时，对所有 $x\in I$，余项 $|R_n(x)|<\varepsilon$。绝对收敛：对每个固定的 $x\in I$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |U_n(x)|$ 收敛。
公式：$\forall \varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in I:|R_n(x)|<\varepsilon$ 与 $\forall x\in I,\sum_{n=1}^{\infty}|U_n(x)|<\infty$
提示：一致收敛只涉及部分和与极限函数的接近程度，不涉及绝对值后的级数。
步骤 3/6
目标：分析一致收敛与绝对收敛的关系
一致收敛并不保证绝对收敛，因为一致收敛的条件只要求余项一致地小，但每一项的符号变化可能导致绝对值级数发散。
提示：可以尝试构造一个反例：一个在区间上一致收敛但非绝对收敛的函数项级数。
步骤 4/6
目标：构造反例
考虑区间 $I=[0,1]$ 上的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n}$。对每个固定的 $x\in[0,1]$，该级数是交错级数，由莱布尼茨判别法知收敛。进一步，利用 Dirichlet 判别法或 Abel 判别法可证明它在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n}$
提示：验证一致收敛时，注意 $\frac{x^n}{n}$ 关于 $n$ 单调递减且一致趋于0，且 $(-1)^n$ 的部分和一致有界。
步骤 5/6
目标：检验绝对收敛性
取绝对值后得到 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$。当 $x=1$ 时，该级数为调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散。因此原级数在 $[0,1]$ 上不是绝对收敛的。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 在 $x=1$ 处发散
提示：绝对收敛要求对每个 $x$ 都收敛，只要有一个点发散即不满足。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在反例，一致收敛不能推出绝对收敛，故原命题错误。
提示：注意：一致收敛与绝对收敛是两个不同的概念，不可混淆。
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