📝 江南大学 2026年数学分析真题

1、设函数 $f(x)$ 是非常值连续周期函数，则 $f(x)$ 一定有最小正周期．

2、设 $\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}$ 在区间 $I$ 上一致收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}$ 在区间 $I$ 上绝对收敛．

3、设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为无界函数，则广义函数 $\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 一定发散．

4、函数 $f(x)$ 为连续函数，则 $g(x)=\lim _{y \rightarrow x} f(y), g(x)$ 为连续函数．

5、函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\},\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上分别一致收敛于 $\{f(x)\},\{g(x)\}$ ，则函数列 $\left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $\{f(x) \cdot g(x)\}$ ．

1．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\ln \left(1^{106}+2^{2026}+\cdots+n^{2026}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．

2、设 $f(x)=x^{2} \ln (1+x)$ ，在 $x=0$ 处的 $n(n \geqslant 3)$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

3． $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x+\int_{-1}^{1} \frac{1+x \sin ^{2} x+\cos x}{1+\cos x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

4、设 $z=z(x, y)$ 由方程 $(x-z, y-z)=0$ 所确定，$F$ 具有连续的二阶导数，则 $z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=$ $\_\_\_\_$ ．

5、设 $y=y(x)$ 由方程 $x^{2} y-\cos x+e^{y}+1=0$ 确定，则 $\displaystyle \frac{d y}{d x}=$ $\_\_\_\_$ ．

1．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．

2、函数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}>x_{n}=\sin x_{n-1}, n=1,2, \ldots, 0<x_{0}<\frac{\pi}{2}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{n}{3}} x_{n}$ ．

3、函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-\cos x}{x}, x \neq 0 \\ a, x=0\end{array}, g(x)\right.$ 具有二阶连续导数，$g(0)=1$ ，确定 $a$ 的值，使下面命题成立．
（1）$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续．
（2）求 $f(x)$ ．
（3）$f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续．

4、求不定积分 $\displaystyle \int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x$ ．

5、求二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{}{1+x^{2}+y^{2}} d x d y$ ，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2} y^{2} \leq 1, x \geq 0\right\}$ ．

6、求 $\displaystyle f=\oint_{L^{+}} \frac{x d y-y d x}{4 x^{2}+y^{2}}, L$ 是以 $(1,0)$ 为圆心，$R$ 为半径 $(R \neq 1), L^{+}$是逆时针方向．

1、函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛的充分必要条件是当 $\left\{a_{n}\right\}$ 是区间上任意柯西数列时，函数列 $\left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西数列．

2、函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$f(0) \cdot f(1) \geqslant 0$ ，证明：

$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| d x<2 \int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{0}^{1} \mid f^{\prime \prime}(x)
$$

3、正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ ，证明：当 $\displaystyle \lim _{n+\infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1} b_{n}}-\frac{1}{b_{n+1}}>0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．

4、函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有二阶可得， $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=c \neq 0$ ，证明：存在不相等的两个实数 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=\frac{2}{c}$ ．