江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5、求二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{}{1+x^{2}+y^{2}} d x d y$ ，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2} y^{2} \leq 1, x \geq 0\right\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解积分区域并选择坐标系
区域 $D = \{ (x, y) \mid x^2 y^2 \le 1, x \ge 0 \}$ 等价于 $x \ge 0$ 且 $|y| \le \frac{1}{x}$。被积函数 $\frac{1}{1+x^2+y^2}$ 提示使用极坐标变换：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，面积元 $dxdy = r\,dr\,d\theta$。
公式：$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$
提示：注意 $x \ge 0$ 对应 $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$。
步骤 2/8
目标：用极坐标表示积分区域
条件 $x^2 y^2 \le 1$ 化为 $(r^2 \cos\theta \sin\theta)^2 \le 1$，即 $r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta \le 1$。利用 $\cos\theta\sin\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$，得 $r^4 \cdot \frac{1}{4}\sin^2 2\theta \le 1$，即 $r \le \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{|\sin 2\theta|}}$。当 $\sin 2\theta = 0$ 时（如 $\theta=0$），$r$ 无上界，但该点测度为0，不影响积分。
公式：$r \le \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{|\sin 2\theta|}}$
提示：注意 $\theta$ 范围是 $[-\pi/2, \pi/2]$，$\sin 2\theta$ 在端点处为零，但积分时视为广义积分。
步骤 3/8
目标：化为累次积分并利用对称性
积分化为 $I = \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{r=0}^{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{|\sin 2\theta|}}} \frac{r}{1+r^2}\,dr\,d\theta$。由于被积函数和区域关于 $x$ 轴对称，可先考虑 $\theta \in [0, \pi/2]$ 再乘以2：$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sin 2\theta}}} \frac{r}{1+r^2}\,dr\,d\theta$（注意 $\theta \in (0,\pi/2)$ 时 $\sin 2\theta > 0$）。
公式：$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sin 2\theta}}} \frac{r}{1+r^2}\,dr\,d\theta$
提示：对称性简化计算，注意绝对值在 $\theta \in (0,\pi/2)$ 时可去掉。
步骤 4/8
目标：计算内层积分
内层对 $r$ 积分：$\int_0^R \frac{r}{1+r^2}\,dr = \frac12 \ln(1+r^2) \big|_0^R = \frac12 \ln(1+R^2)$，其中 $R = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sin 2\theta}}$。代入得 $\frac12 \ln\left(1 + \frac{2}{\sin 2\theta}\right)$。
公式：$\int_0^R \frac{r}{1+r^2}\,dr = \frac12 \ln(1+R^2)$
提示：注意 $1+R^2 = 1 + \frac{2}{\sin 2\theta}$。
步骤 5/8
目标：化简外层积分并换元
外层积分变为 $I = 2 \cdot \frac12 \int_0^{\pi/2} \ln\left(1 + \frac{2}{\sin 2\theta}\right) d\theta = \int_0^{\pi/2} \ln\left(1 + \frac{2}{\sin 2\theta}\right) d\theta$。令 $u = 2\theta$，则 $d\theta = du/2$，积分限 $0$ 到 $\pi$，得 $I = \frac12 \int_0^{\pi} \ln\left(1 + \frac{2}{\sin u}\right) du$。
公式：$I = \frac12 \int_0^{\pi} \ln\left(1 + \frac{2}{\sin u}\right) du$
提示：换元时注意积分限的变化，$\sin 2\theta$ 变为 $\sin u$。
步骤 6/8
目标：利用对称性进一步化简
由于 $\sin(\pi - u) = \sin u$，积分区间可折半：$\int_0^{\pi} f(\sin u)\,du = 2\int_0^{\pi/2} f(\sin u)\,du$。代入得 $I = \frac12 \cdot 2 \int_0^{\pi/2} \ln\left(1 + \frac{2}{\sin u}\right) du = \int_0^{\pi/2} \ln\left(1 + \frac{2}{\sin u}\right) du$。
公式：$I = \int_0^{\pi/2} \ln\left(1 + \frac{2}{\sin u}\right) du$
提示：这一步将积分区间从 $[0,\pi]$ 缩小到 $[0,\pi/2]$，简化后续计算。
步骤 7/8
目标：拆分对数并利用已知积分
将对数拆分：$\ln\left(1 + \frac{2}{\sin u}\right) = \ln(\sin u + 2) - \ln(\sin u)$。则 $I = \int_0^{\pi/2} \ln(2+\sin u)\,du - \int_0^{\pi/2} \ln(\sin u)\,du$。已知 $\int_0^{\pi/2} \ln(\sin u)\,du = -\frac{\pi}{2}\ln 2$，代入得 $I = \int_0^{\pi/2} \ln(2+\sin u)\,du + \frac{\pi}{2}\ln 2$。
公式：$\int_0^{\pi/2} \ln(\sin u)\,du = -\frac{\pi}{2}\ln 2$
提示：注意符号：减去负值等于加上正值。
步骤 8/8
目标：计算剩余积分并得出最终结果
利用公式 $\int_0^{\pi/2} \ln(a + b\sin u)\,du = \pi \ln\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}+a}{2}\right)$（$a \ge |b|$），这里 $a=2, b=1$，得 $\int_0^{\pi/2} \ln(2+\sin u)\,du = \pi \ln\left(\frac{\sqrt{3}+2}{2}\right)$。因此 $I = \pi \ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\pi}{2}\ln 2 = \pi \ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}\right) = \pi \ln\left(\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{2}\right)$。
公式：$\int_0^{\pi/2} \ln(2+\sin u)\,du = \pi \ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$
提示：最终结果可化简为 $\pi \ln\left(\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{2}\right)$，注意检查对数运算。
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