江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2、设 $f(x)=x^{2} \ln (1+x)$ ，在 $x=0$ 处的 $n(n \geqslant 3)$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数展开为幂级数
已知 $\ln(1+x)$ 的麦克劳林展开为 $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k$，$|x|<1$。则 $f(x)=x^2 \ln(1+x) = x^2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k+2}$。令 $m=k+2$，则 $k=m-2$，当 $k\ge 1$ 时 $m\ge 3$，于是 $f(x)=\sum_{m=3}^{\infty} \frac{(-1)^{m-3}}{m-2} x^m$。
公式：\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k
提示：注意展开式的起始项和指数变换，确保 $m$ 从3开始。
步骤 2/4
目标：利用麦克劳林公式建立系数与导数的关系
函数 $f(x)$ 的麦克劳林级数为 $f(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$，其中 $a_m = \frac{f^{(m)}(0)}{m!}$。对比 $f(x)=\sum_{m=3}^{\infty} \frac{(-1)^{m-3}}{m-2} x^m$，可知当 $m\ge 3$ 时，$a_m = \frac{(-1)^{m-3}}{m-2}$；当 $m<3$ 时，$a_m=0$。
公式：a_m = \frac{f^{(m)}(0)}{m!}
提示：注意 $m=0,1,2$ 时系数为0，但题目只关心 $n\ge 3$ 的情况。
步骤 3/4
目标：推导 $n$ 阶导数的表达式
由 $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ 且 $a_n = \frac{(-1)^{n-3}}{n-2}$（$n\ge 3$），得 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^{n-3}}{n-2}$，所以 $f^{(n)}(0) = n! \cdot \frac{(-1)^{n-3}}{n-2}$。
公式：f^{(n)}(0) = n! \cdot \frac{(-1)^{n-3}}{n-2}
提示：注意 $n\ge 3$ 时 $n-2\neq 0$，分母有意义。
步骤 4/4
目标：化简结果并给出最终答案
由于 $(-1)^{n-3}=(-1)^{n-1}$（因为 $(-1)^{-2}=1$），也可写作 $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}\cdot\frac{n!}{n-2}$。两种形式等价，通常保留 $(-1)^{n-3}$ 或 $(-1)^{n-1}$ 均可。
公式：f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3}\cdot\frac{n!}{n-2}
提示：注意符号化简时指数加减偶数不改变符号，$(-1)^{n-3}=(-1)^{n-1}$。
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