江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3、设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为无界函数，则广义函数 $\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 一定发散．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解命题含义
题目声称：若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上无界，则广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ 一定发散。我们需要判断这个命题是否正确。无界是指函数值可以无限大，而广义积分发散是指积分值不存在或为无穷。
提示：注意区分“无界”与“积分发散”的概念，它们并不等价。
步骤 2/5
目标：寻找反例思路
要证明命题错误，只需构造一个在 $[0,+\infty)$ 上无界但广义积分收敛的函数。关键在于让函数在无界的同时，其“尖峰”的面积足够小，使得总和有限。
提示：反例通常利用“窄而高”的脉冲函数，使每个脉冲的面积可求和收敛。
步骤 3/5
目标：构造反例函数
定义函数 $f(x)$ 如下：
$$
f(x) =
\begin{cases}
n, & x \in [n, n+\frac{1}{n^3}),\ n=1,2,3,\dots \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
当 $n \to +\infty$ 时，$f(x)$ 可以取到任意大的值 $n$，因此 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上无界。
公式：$f(x)=\begin{cases} n, & x\in[n,n+\frac{1}{n^3}) \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
提示：注意每个脉冲的宽度是 $1/n^3$，高度是 $n$，面积是 $1/n^2$。
步骤 4/5
目标：计算积分值
计算广义积分：
$$
\int_0^{+\infty} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \cdot \frac{1}{n^3} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
$$
这是一个收敛的 $p$-级数（$p=2>1$），其和为 $\frac{\pi^2}{6}$，是一个有限数。
公式：$\int_0^{+\infty} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
提示：$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ 收敛是经典结论，可用积分判别法验证。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于我们构造了一个在 $[0,+\infty)$ 上无界但广义积分收敛的函数，因此原命题“若函数无界，则广义积分一定发散”是错误的。
提示：反例说明：无界性不是积分发散的充分条件，还需考虑振荡或面积累积方式。
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