江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4、函数 $f(x)$ 为连续函数，则 $g(x)=\lim _{y \rightarrow x} f(y), g(x)$ 为连续函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解函数g(x)的定义
由题意，$g(x) = \lim_{y \to x} f(y)$。由于$f$是连续函数，根据连续性的定义，对任意$x$，极限$\lim_{y \to x} f(y)$存在且等于$f(x)$。因此，$g(x) = f(x)$。
公式：$\lim_{y \to x} f(y) = f(x)$
提示：注意连续函数的极限值等于函数值，这是连续性的核心性质。
步骤 2/4
目标：将g(x)转化为f(x)
由第一步得到$g(x) = f(x)$，即$g$与$f$是同一个函数。
公式：$g(x) = f(x)$
提示：不要混淆极限符号与函数值，这里极限直接等于函数值。
步骤 3/4
目标：利用f的连续性推导g的连续性
已知$f$是连续函数，而$g$与$f$处处相等，因此$g$在每一点$x_0$处也连续。具体地，对任意$x_0$，有$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) = g(x_0)$。
公式：$\lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0)$
提示：连续性定义：函数在一点处的极限等于该点的函数值。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，$g(x)$是连续函数。
提示：本题的关键在于识别出$g$就是$f$本身，从而连续性直接继承。
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