江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4、求不定积分 $\displaystyle \int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察被积函数结构，考虑使用分部积分法
被积函数为 $\frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}}$，分子有 $x e^x$，分母是 $(1+x)^2$。由于分母幂次较高，且分子求导后可能出现 $(1+x)$ 因子与分母约简，因此考虑分部积分。设 $u = x e^x$，$dv = \frac{1}{(1+x)^2} dx$。
公式：分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：选择 $u$ 和 $dv$ 时，应使 $du$ 比 $u$ 简单，且 $v$ 容易求出。
步骤 2/5
目标：求微分 $du$ 和积分 $v$
对 $u = x e^x$ 求导：$du = (e^x + x e^x) dx = e^x (1+x) dx$。
对 $dv = \frac{1}{(1+x)^2} dx$ 积分：$v = \int \frac{1}{(1+x)^2} dx = -\frac{1}{1+x}$。
公式：$\frac{d}{dx}(x e^x) = e^x (1+x)$，$\int \frac{1}{(1+x)^2} dx = -\frac{1}{1+x} + C$
提示：求 $v$ 时注意符号，$\int u^{-2} du = -u^{-1}$，不要忘记负号。
步骤 3/5
目标：应用分部积分公式并化简
代入分部积分公式：
$\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} dx = (x e^x) \cdot \left(-\frac{1}{1+x}\right) - \int \left(-\frac{1}{1+x}\right) \cdot e^x (1+x) dx$。
化简第二项：负负得正，且 $(1+x)$ 约去，得 $+ \int e^x dx$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意符号处理：减去一个负积分等于加上正积分，同时约分时要小心分母为零的情况（但积分中可视为形式运算）。
步骤 4/5
目标：计算剩余积分并写出初步结果
原积分变为 $-\frac{x e^x}{1+x} + \int e^x dx$。
而 $\int e^x dx = e^x + C$，所以初步结果为 $-\frac{x e^x}{1+x} + e^x + C$。
公式：$\int e^x dx = e^x + C$
提示：不要忘记积分常数 $C$。
步骤 5/5
目标：合并整理得到最终结果
将两项合并：$e^x - \frac{x e^x}{1+x} = e^x \left(1 - \frac{x}{1+x}\right) = e^x \cdot \frac{1+x - x}{1+x} = \frac{e^x}{1+x}$。
因此最终结果为 $\frac{e^x}{1+x} + C$。
公式：代数化简：$1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}$
提示：合并时注意通分，确保分子分母运算正确。
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