江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5、函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\},\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上分别一致收敛于 $\{f(x)\},\{g(x)\}$ ，则函数列 $\left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $\{f(x) \cdot g(x)\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致收敛的定义
函数列 $\{h_n(x)\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $h(x)$，是指：
$$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in I} |h_n(x)-h(x)| = 0.$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in I} |h_n(x)-h(x)| = 0$$
提示：注意一致收敛与逐点收敛的区别：一致收敛要求上确界趋于0，而逐点收敛只要求每个点处收敛。
步骤 2/5
目标：估计乘积的差
考虑 $|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)|$，通过添加和减去 $f_n(x)g(x)$ 进行分解：
$$\begin{aligned}
|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)| &= |f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x)+f_n(x)g(x)-f(x)g(x)| \\
&\leq |f_n(x)|\cdot|g_n(x)-g(x)| + |g(x)|\cdot|f_n(x)-f(x)|.
\end{aligned}$$
公式：$$|f_n g_n - f g| \leq |f_n|\cdot|g_n-g| + |g|\cdot|f_n-f|$$
提示：三角不等式是常用的放缩技巧，但要注意每一项的系数可能无界。
步骤 3/5
目标：分析一致收敛的充分条件
如果 $f_n$ 和 $g$ 在 $I$ 上都有界，即存在常数 $M>0$ 使得 $|f_n(x)|\leq M$ 且 $|g(x)|\leq M$ 对所有 $x\in I$ 和充分大的 $n$ 成立，那么由一致收敛性：
$$\sup_{x\in I}|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)| \leq M\sup_{x\in I}|g_n-g| + M\sup_{x\in I}|f_n-f| \to 0.$$
此时乘积一致收敛。
公式：$$\sup|f_n g_n - f g| \leq M\sup|g_n-g| + M\sup|f_n-f|$$
提示：有界性是保证乘积一致收敛的关键条件之一。
步骤 4/5
目标：构造反例说明原命题不成立
取 $I=\mathbb{R}$，定义 $f_n(x)=x$，$g_n(x)=\frac{1}{n}$。则：
- $f_n(x)$ 一致收敛于 $f(x)=x$，因为 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|x-x|=0$。
- $g_n(x)$ 一致收敛于 $g(x)=0$，因为 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}\to 0$。
- 乘积 $f_n(x)g_n(x)=\frac{x}{n}$，其极限函数为 $0$，但 $\sup_{x\in\mathbb{R}}|\frac{x}{n}-0|=\infty$，不趋于 $0$，故不一致收敛。
公式：$$\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{x}{n}\right| = \infty$$
提示：反例中 $f_n$ 无界，导致乘积的一致收敛性被破坏。
步骤 5/5
目标：得出结论
原命题缺少有界性条件，因此不总是成立。在一般无界区间或函数无界时，乘积的一致收敛性不一定成立。正确的命题应附加条件：$\{f_n\}$ 或 $\{g_n\}$ 在 $I$ 上一致有界，或者 $I$ 是有限闭区间且 $f,g$ 连续。
提示：注意区分充分条件和必要条件，反例说明原命题为假。
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