江南大学 2026年数学分析第0题

已知函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，因此 $f$ 和 $f'$ 均连续。且 $\lim_{x \to 0} f(x) = c \neq 0$，这意味着 $0$ 是 $I$ 的内点或聚点，可补充定义 $f(0)=c$ 使 $f$ 在 $0$ 处连续。要证明存在两个不同的实数 $\xi_1, \xi_2$，使得 $\frac{1}{f'(\xi_1)} + \frac{1}{f'(\xi_2)} = \frac{2}{c}$。

对任意 $x \neq 0$，在区间 $[0, x]$（或 $[x, 0]$）上应用拉格朗日中值定理，存在 $\theta(x)$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得： $$f(x) - f(0) = f'(\theta(x)) \cdot (x - 0)$$ 由于 $f(0)=c$，得 $f(x) - c = f'(\theta(x)) \cdot x$，从而 $$\frac{x}{f(x)-c} = \frac{1}{f'(\theta(x))}$$

取两个不同的非零实数 $a$ 和 $b$，由上述关系存在 $\xi_1$ 介于 $0$ 与 $a$ 之间，$\xi_2$ 介于 $0$ 与 $b$ 之间，使得 $$\frac{1}{f'(\xi_1)} = \frac{a}{f(a)-c}, \quad \frac{1}{f'(\xi_2)} = \frac{b}{f(b)-c}$$ 则待证等式化为： $$\frac{a}{f(a)-c} + \frac{b}{f(b)-c} = \frac{2}{c}$$

考虑函数 $\varphi(x) = \frac{1}{f'(x)}$，由 $f$ 二阶可导知 $f'$ 连续，故 $\varphi$ 在 $f' \neq 0$ 的区间连续。定义辅助函数 $$F(x) = \frac{x}{f(x)-c}$$ 则 $F(x) = \varphi(\theta(x))$。当 $x \to 0$ 时，由洛必达法则： $$\lim_{x \to 0} F(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(0)}$$ 若 $f'(0) = c$，则 $\lim_{x \to 0} F(x) = 1/c$，但一般情况需另寻方法。 更直接地，取 $b = -a$，则 $$\frac{a}{f(a)-c} + \frac{-a}{f(-a)-c} = a\left(\frac{1}{f(a)-c} - \frac{1}{f(-a)-c}\right)$$ 令 $G(a) = a\left(\frac{1}{f(a)-c} - \frac{1}{f(-a)-c}\right)$，则 $G(0)$ 的极限为 $2/f'(0)$。

由于 $f$ 二阶可导，$f'$ 连续，考虑函数 $H(x) = \frac{1}{f'(x)}$。由拉格朗日中值定理，对任意 $x>0$，存在 $\xi_1 \in (0,x)$ 和 $\xi_2 \in (-x,0)$ 使得 $$H(\xi_1) = \frac{x}{f(x)-c}, \quad H(\xi_2) = \frac{-x}{f(-x)-c}$$ 则 $$H(\xi_1) + H(\xi_2) = x\left(\frac{1}{f(x)-c} - \frac{1}{f(-x)-c}\right)$$ 令 $x \to 0^+$，上式极限为 $2/f'(0)$。若 $f'(0) = c$，则极限为 $2/c$，由极限的保号性及介值定理，存在某个 $x_0$ 使得和恰好等于 $2/c$。 若 $f'(0) \neq c$，则考虑函数 $\Phi(x) = H(\xi_1(x)) + H(\xi_2(x))$，当 $x$ 从正数变化时，$\Phi(x)$ 连续（因为 $\xi_1, \xi_2$ 连续依赖于 $x$），且 $\lim_{x \to 0} \Phi(x) = 2/f'(0)$，而 $\lim_{x \to \infty} \Phi(x)$ 可能趋于不同值，由介值定理，必存在某个 $x$ 使 $\Phi(x)=2/c$，从而得到所需的 $\xi_1, \xi_2$。