江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5、设 $y=y(x)$ 由方程 $x^{2} y-\cos x+e^{y}+1=0$ 确定，则 $\displaystyle \frac{d y}{d x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：对方程两边同时对x求导
给定方程：\(x^{2} y - \cos x + e^{y} + 1 = 0\)，两边对\(x\)求导，注意\(y\)是\(x\)的函数，需使用链式法则。
- 对\(x^2 y\)求导：使用乘法法则，得\(2x \cdot y + x^2 \cdot \frac{dy}{dx}\)。
- 对\(-\cos x\)求导：得\(\sin x\)。
- 对\(e^y\)求导：得\(e^y \cdot \frac{dy}{dx}\)。
- 常数\(1\)的导数为\(0\)，右边\(0\)的导数也为\(0\)。
求导后得到：
\[2x y + x^2 \frac{dy}{dx} + \sin x + e^y \frac{dy}{dx} = 0\]
公式：\frac{d}{dx}(x^2 y) = 2x y + x^2 \frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}(e^y) = e^y \frac{dy}{dx}
提示：注意乘积法则和链式法则的运用，尤其是对\(y\)的函数求导时不要漏掉\(\frac{dy}{dx}\)。
步骤 2/3
目标：整理含有导数的项
将上一步得到的方程中的\(\frac{dy}{dx}\)项合并，常数项移到右边：
\[x^2 \frac{dy}{dx} + e^y \frac{dy}{dx} = -2xy - \sin x\]
公式：x^2 \frac{dy}{dx} + e^y \frac{dy}{dx} = -2xy - \sin x
提示：移项时注意符号变化，\(2xy\)和\(\sin x\)移到右边要变号。
步骤 3/3
目标：提取公因子并解出导数
左边提取公因子\(\frac{dy}{dx}\)：
\[\frac{dy}{dx} (x^2 + e^y) = -2xy - \sin x\]
两边同时除以\((x^2 + e^y)\)，得到：
\[\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy - \sin x}{x^2 + e^y}\]
公式：\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy - \sin x}{x^2 + e^y}
提示：分母\(x^2 + e^y\)一般不为零，但需注意隐函数存在定理的条件。
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