江南大学 2026年数学分析第0题

由于初始值 $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$，且当 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，有 $0 < \sin x < x$，因此数列 $\{x_n\}$ 严格递减且有下界 $0$，故收敛。设极限为 $L$，则 $L = \sin L$，在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 内只有解 $L=0$，所以 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$。

当 $x$ 很小时，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。递推关系化为 $x_n = x_{n-1} - \frac{x_{n-1}^3}{6} + O(x_{n-1}^5)$。令 $y_n = \frac{1}{x_n^2}$，则 $x_n = x_{n-1}\left(1 - \frac{x_{n-1}^2}{6} + O(x_{n-1}^4)\right)$。取倒数平方得 $y_n = \frac{1}{x_{n-1}^2\left(1 - \frac{x_{n-1}^2}{6} + O(x_{n-1}^4)\right)^2}$。利用 $(1-u)^{-2} = 1 + 2u + O(u^2)$，其中 $u = \frac{x_{n-1}^2}{6} + O(x_{n-1}^4)$，得到 $y_n = y_{n-1}\left(1 + \frac{x_{n-1}^2}{3} + O(x_{n-1}^4)\right)$。代入 $x_{n-1}^2 = 1/y_{n-1}$，得 $y_n = y_{n-1} + \frac{1}{3} + O\left(\frac{1}{y_{n-1}}\right)$。

忽略小量，近似有 $y_n \approx y_0 + \frac{n}{3}$。由于 $y_0 = 1/x_0^2$ 是常数，当 $n$ 很大时，$y_n \sim \frac{n}{3}$，因此 $x_n \sim \sqrt{\frac{3}{n}}$。精确地，由 $y_n = y_{n-1} + \frac{1}{3} + \varepsilon_{n-1}$，其中 $\varepsilon_{n-1} = O(1/y_{n-1}) = O(1/n)$。累加得 $y_n = y_0 + \frac{n}{3} + \sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon_k$。由于 $\sum_{k=1}^{n-1} O(1/k) = O(\ln n)$，相对于 $n/3$ 是低阶项，故 $\frac{y_n}{n} \to \frac{1}{3}$。

所求极限为 $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{n}{3}} x_n = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{n}{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y_n}} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{n}{3y_n}}$。由于 $\frac{y_n}{n} \to \frac{1}{3}$，故 $\frac{n}{3y_n} \to \frac{1}{3 \cdot (1/3)} = 1$，因此极限为 $1$。