江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析括号内表达式的极限行为
已知重要极限 $\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$，因此括号内的量 $\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 当 $x\to+\infty$ 时趋近于1。但我们需要精确知道它趋近于1的方式，因为外面还有 $x$ 次方，会放大差异。
公式：\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e
提示：注意：虽然括号内趋近于1，但不能直接代入1，因为 $1^\infty$ 是不定式。
步骤 2/5
目标：取对数转化为等价极限
设 $L = \lim_{x\to+\infty} \left[\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^x$，取自然对数得：
\[
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \ln\left[ \frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \right]
\]
由于 $\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \cdot e^{-1}$，所以
\[
\ln\left[ \frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \right] = \ln\left( \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \right) - 1 = x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1
\]
因此
\[
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \left[ x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1 \right]
\]
公式：\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \left[ x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1 \right]
提示：取对数是处理幂指函数极限的常用技巧，注意对数运算的准确性。
步骤 3/5
目标：展开对数函数，得到渐近表达式
令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x\to+\infty$ 时 $t\to 0^+$。利用 $\ln(1+t)$ 的泰勒展开：
\[
\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots
\]
于是
\[
x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{t} \ln(1+t) = \frac{1}{t}\left(t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots\right) = 1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \cdots
\]
所以
\[
x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1 = -\frac{t}{2} + O(t^2) = -\frac{1}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)
\]
公式：\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots \quad (t\to 0)
提示：展开时注意保留足够阶数，因为后面要乘以 $x$，$O(1/x^2)$ 项乘以 $x$ 后仍趋于0。
步骤 4/5
目标：代入并求极限
将渐近表达式代入：
\[
x\left[ x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1 \right] = x \left( -\frac{1}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) = -\frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right)
\]
当 $x\to+\infty$ 时，$O(1/x)\to 0$，因此
\[
\ln L = -\frac{1}{2}
\]
公式：\lim_{x\to+\infty} x\left[ x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1 \right] = -\frac{1}{2}
提示：注意 $O(1/x)$ 项在取极限时消失，但必须确保展开的阶数正确。
步骤 5/5
目标：还原为原极限并写出最终答案
由 $\ln L = -\frac{1}{2}$ 得 $L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$。因此原极限为 $\frac{1}{\sqrt{e}}$。
公式：L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}
提示：最终结果要化简，不要写成 $e^{-0.5}$ 的形式。
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