江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3． $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x+\int_{-1}^{1} \frac{1+x \sin ^{2} x+\cos x}{1+\cos x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：处理第一个积分，利用对称性简化
设 $I_1 = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx$。令 $x = \pi - t$，则 $dx = -dt$，积分限变为 $t$ 从 $\pi$ 到 $0$。代入得：
$$I_1 = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin(\pi - t)}{1+\cos^2(\pi - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1+\cos^2 t} \, dt$$
公式：$\sin(\pi - t) = \sin t$，$\cos(\pi - t) = -\cos t$
提示：注意三角恒等式和积分限的变化，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：将两个表达式相加，消去变量 $x$
原 $I_1 = \int_{0}^{\pi} \frac{t \sin t}{1+\cos^2 t} \, dt$，新得 $I_1 = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1+\cos^2 t} \, dt$。两式相加得：
$$2I_1 = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin t}{1+\cos^2 t} \, dt$$
所以
$$I_1 = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} \, dt$$
公式：$2I_1 = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} \, dt$
提示：相加时注意分子中的 $t$ 和 $\pi-t$ 合并为 $\pi$。
步骤 3/5
目标：计算简化后的积分
令 $u = \cos t$，则 $du = -\sin t \, dt$，当 $t=0$ 时 $u=1$，$t=\pi$ 时 $u=-1$。于是：
$$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} \, dt = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2}$$
计算得：
$$\int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = \left[ \arctan u \right]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$$
因此 $I_1 = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$。
公式：$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C$
提示：换元时注意积分限的对应，以及 $\arctan$ 函数值的计算。
步骤 4/5
目标：处理第二个积分，拆项并利用奇偶性
设 $I_2 = \int_{-1}^{1} \frac{1 + x \sin^2 x + \cos x}{1+\cos x} \, dx$。拆开分子：
$$\frac{1 + \cos x}{1+\cos x} + \frac{x \sin^2 x}{1+\cos x} = 1 + \frac{x \sin^2 x}{1+\cos x}$$
所以
$$I_2 = \int_{-1}^{1} 1 \, dx + \int_{-1}^{1} \frac{x \sin^2 x}{1+\cos x} \, dx$$
第一部分为 $2$。第二部分中，$x$ 是奇函数，$\frac{\sin^2 x}{1+\cos x}$ 是偶函数（因为 $\sin^2 x$ 和 $\cos x$ 均为偶），整体为奇函数，在对称区间 $[-1,1]$ 上积分为 $0$。因此 $I_2 = 2$。
公式：奇函数在对称区间上的积分为零
提示：判断奇偶性时注意分母 $1+\cos x$ 是偶函数，分子 $x$ 是奇函数，乘积为奇。
步骤 5/5
目标：求和得到最终结果
原式 = $I_1 + I_2 = \frac{\pi^2}{4} + 2$。
公式：$\frac{\pi^2}{4} + 2$
提示：最终结果需化简为最简形式。
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