江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\ln \left(1^{106}+2^{2026}+\cdots+n^{2026}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析分母求和的主项
对于 $n$ 很大时，求和 $\sum_{k=1}^n k^{2026}$ 中，最高次项 $n^{2026}$ 起主导作用，因为指数 $2026$ 远大于 $106$，所以 $1^{106}$ 等低次项可忽略。利用积分近似：$\sum_{k=1}^n k^p \sim \frac{n^{p+1}}{p+1}$（$p>0$），这里 $p=2026$，因此 $\sum_{k=1}^n k^{2026} \sim \frac{n^{2027}}{2027}$。
公式：\sum_{k=1}^n k^{2026} \sim \frac{n^{2027}}{2027}
提示：注意 $p$ 是求和项的指数，近似公式成立的条件是 $p>0$ 且 $n$ 充分大。
步骤 2/5
目标：对分母求和取对数
对近似结果取自然对数：$\ln\left(\sum_{k=1}^n k^{2026}\right) \sim \ln\left(\frac{n^{2027}}{2027}\right) = 2027\ln n - \ln 2027$。
公式：\ln\left(\frac{n^{2027}}{2027}\right) = 2027\ln n - \ln 2027
提示：对数运算中，乘积变为加法，幂次变为系数。
步骤 3/5
目标：代入原极限表达式
原极限为 $\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{\ln(1^{106}+2^{2026}+\cdots+n^{2026})}$，将分母的近似代入得 $\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{2027\ln n - \ln 2027}$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{2027\ln n - \ln 2027}
提示：这里用到了近似替换，严格证明需用夹逼定理，但本题中近似是合理的。
步骤 4/5
目标：计算极限值
当 $n\to\infty$ 时，$\ln n \to \infty$，分母中的常数项 $-\ln 2027$ 相对于 $2027\ln n$ 可忽略，因此极限为 $\frac{1}{2027}$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{2027\ln n - \ln 2027} = \frac{1}{2027}
提示：分子分母同除以 $\ln n$ 可得 $\frac{1}{2027 - \frac{\ln 2027}{\ln n}} \to \frac{1}{2027}$。
步骤 5/5
目标：验证结果并总结
检查是否有陷阱：分子是 $\ln n$，分母中 $1^{106}$ 的指数 $106$ 远小于 $2026$，不影响主项，因此结果正确。最终答案为 $\frac{1}{2027}$。
公式：\boxed{\dfrac{1}{2027}}
提示：注意指数差异很大时，低次项可忽略，但需确认主项确实由最高次项决定。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。