江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6、求 $\displaystyle f=\oint_{L^{+}} \frac{x d y-y d x}{4 x^{2}+y^{2}}, L$ 是以 $(1,0)$ 为圆心，$R$ 为半径 $(R \neq 1), L^{+}$是逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析被积函数的奇点
被积函数的分母为 $4x^2 + y^2$，令其为零得 $4x^2 + y^2 = 0$，在实数范围内仅有点 $(x, y) = (0, 0)$ 满足。因此原点是被积函数的唯一奇点。
公式：4x^2 + y^2 = 0 \Rightarrow (x, y) = (0, 0)
提示：注意分母在实数范围内只有原点一个奇点，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：判断圆周是否包围奇点
圆周 $L$ 以 $(1, 0)$ 为圆心，半径 $R$（$R \neq 1$）。圆心到原点的距离为 $1$。当 $R < 1$ 时，圆周不包含原点；当 $R > 1$ 时，圆周包含原点。
公式：\text{圆心距离原点} = 1, \quad \text{比较 } R \text{ 与 } 1
提示：由于 $R \neq 1$，只需分 $R<1$ 和 $R>1$ 两种情况讨论。
步骤 3/7
目标：验证向量场的保守性（旋度为零）
记 $P = \frac{-y}{4x^2 + y^2}$，$Q = \frac{x}{4x^2 + y^2}$。计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(4x^2 + y^2) + y \cdot 2y}{(4x^2 + y^2)^2} = \frac{-4x^2 + y^2}{(4x^2 + y^2)^2}
$$
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(4x^2 + y^2) - x \cdot 8x}{(4x^2 + y^2)^2} = \frac{-4x^2 + y^2}{(4x^2 + y^2)^2}
$$
可见在非奇点处 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，场是保守的。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-4x^2 + y^2}{(4x^2 + y^2)^2}
提示：旋度为零说明除原点外场是保守的，这为使用格林公式或挖洞法提供依据。
步骤 4/7
目标：情况1：R < 1 时直接使用格林公式
当 $R < 1$ 时，圆周内部不包含奇点，被积函数在闭区域上连续可微。由格林公式，沿逆时针闭曲线的积分为零：
$$
f = \oint_{L^+} \frac{x dy - y dx}{4x^2 + y^2} = 0
$$
公式：\oint_{L^+} P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = 0
提示：格林公式要求区域内无奇点，此处满足，直接得零。
步骤 5/7
目标：情况2：R > 1 时进行变量替换
令 $u = 2x$，$v = y$，则 $4x^2 + y^2 = u^2 + v^2$，且 $dx = \frac{du}{2}$，$dy = dv$。被积表达式化为：
$$
\frac{x dy - y dx}{4x^2 + y^2} = \frac{\frac{u}{2} dv - v \cdot \frac{du}{2}}{u^2 + v^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u dv - v du}{u^2 + v^2}
$$
原积分变为：
$$
f = \frac{1}{2} \oint_{\Gamma^+} \frac{u dv - v du}{u^2 + v^2}
$$
其中 $\Gamma$ 是原圆周在 $(u, v)$ 平面上的像，方程为 $(u-2)^2 + 4v^2 = 4R^2$，是一个包围原点的椭圆。
公式：u = 2x, \quad v = y, \quad \frac{x dy - y dx}{4x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u dv - v du}{u^2 + v^2}
提示：变量替换的目的是将分母化为标准圆形式，便于利用已知结论。
步骤 6/7
目标：计算变换后的积分
对于任意包围原点且逆时针方向的简单闭曲线 $\Gamma^+$，有经典结论：
$$
\oint_{\Gamma^+} \frac{u dv - v du}{u^2 + v^2} = 2\pi
$$
这是因为该积分等于角度变化量 $2\pi$。因此：
$$
f = \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi
$$
公式：\oint_{\Gamma^+} \frac{u dv - v du}{u^2 + v^2} = 2\pi, \quad f = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi
提示：注意曲线方向为逆时针，若顺时针则结果为 $-2\pi$。
步骤 7/7
目标：总结最终答案
综合两种情况：
- 当 $0 < R < 1$ 时，积分值为 $0$；
- 当 $R > 1$ 时，积分值为 $\pi$。
题目条件 $R \neq 1$，故两种情况均有效。
公式：f = \begin{cases} 0, & 0 < R < 1 \\ \pi, & R > 1 \end{cases}
提示：注意 $R=1$ 时圆周经过奇点，积分发散，题目已排除此情况。
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