江南大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3、函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-\cos x}{x}, x \neq 0 \\ a, x=0\end{array}, g(x)\right.$ 具有二阶连续导数，$g(0)=1$ ，确定 $a$ 的值，使下面命题成立．
（1）$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续．
（2）求 $f(x)$ ．
（3）$f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定a使f(x)在x=0处连续
要使$f(x)$在$x=0$处连续，需满足$\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=a$。计算极限：$a=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-\cos x}{x}$。由于$g(0)=1$，$\cos0=1$，分子分母均趋于0，为$\frac{0}{0}$型，使用洛必达法则：$\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)+\sin x}{1}=g'(0)+\sin0=g'(0)$。因此$a=g'(0)$。
公式：$a = \lim_{x\to 0}\frac{g(x)-\cos x}{x}=g'(0)$
提示：注意洛必达法则的使用条件：分子分母在邻域内可导且分母导数不为0。
步骤 2/4
目标：求x≠0时f'(x)的表达式
当$x\neq0$时，$f(x)=\frac{g(x)-\cos x}{x}$，使用商法则求导：$f'(x)=\frac{(g'(x)+\sin x)\cdot x - (g(x)-\cos x)\cdot 1}{x^2}=\frac{xg'(x)+x\sin x - g(x)+\cos x}{x^2}$。
公式：$f'(x)=\frac{xg'(x)+x\sin x - g(x)+\cos x}{x^2},\ x\neq0$
提示：注意$\cos x$的导数为$-\sin x$，但此处分子是$g(x)-\cos x$，其导数为$g'(x)+\sin x$。
步骤 3/4
目标：求f'(0)的值
由导数定义：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{g(x)-\cos x}{x}-g'(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-\cos x - xg'(0)}{x^2}$。这是$\frac{0}{0}$型，使用洛必达法则：分子求导得$g'(x)+\sin x - g'(0)$，当$x\to0$时仍为0，再次洛必达：分子求导得$g''(x)+\cos x$，分母求导得2，因此$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{g''(x)+\cos x}{2}=\frac{g''(0)+1}{2}$。
公式：$f'(0)=\frac{g''(0)+1}{2}$
提示：两次使用洛必达法则，注意$g$具有二阶连续导数，保证可导性。
步骤 4/4
目标：判断f'(x)在x=0处的连续性
需验证$\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)$。对$x\neq0$的表达式求极限：$\lim_{x\to 0}\frac{xg'(x)+x\sin x - g(x)+\cos x}{x^2}$，这是$\frac{0}{0}$型。分子求导：$g'(x)+xg''(x)+\sin x+x\cos x - g'(x)-\sin x = xg''(x)+x\cos x = x(g''(x)+\cos x)$；分母求导得$2x$。因此极限为$\lim_{x\to 0}\frac{x(g''(x)+\cos x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{g''(x)+\cos x}{2}=\frac{g''(0)+1}{2}$，恰好等于$f'(0)$，故$f'(x)$在$x=0$处连续。
公式：$\lim_{x\to 0}f'(x)=\frac{g''(0)+1}{2}=f'(0)$
提示：化简分子导数时注意抵消项，避免计算错误。
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