江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一、（本题满分 10 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别极限类型
当 $n \to \infty$ 时，底数 $1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n} \to 1$，指数 $\sqrt{n} \to \infty$，因此该极限是“$1^\infty$”型不定式。
公式：\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n}}
提示：注意底数趋近于1但大于1，指数趋于无穷，不能直接代入。
步骤 2/6
目标：取对数转化极限
设 $L = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n}}$，则先求 $\ln L = \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \cdot \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)$。
公式：\ln L = \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \cdot \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)
提示：取对数后极限形式变为 $0 \cdot \infty$，需要进一步展开。
步骤 3/6
目标：对对数部分进行泰勒展开
令 $x = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$，当 $n$ 很大时 $x$ 很小。利用 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，展开得：
$$\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^2 + O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$
公式：\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)
提示：注意展开到足够阶数，以便后续与 $\sqrt{n}$ 相乘后得到常数项。
步骤 4/6
目标：展开平方项并化简
计算平方项：
$$\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{3/2}} + \frac{1}{n^2}$$
代入展开式：
$$\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n} - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{3/2}} + \frac{1}{n^2}\right) + O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$
合并同类项：
$$\frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}$$
忽略高阶小量，得到：
$$\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$
公式：\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)
提示：注意 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 是主导项，$\frac{1}{2n}$ 是次主导项。
步骤 5/6
目标：乘以指数 $\sqrt{n}$ 并求极限
将上一步结果乘以 $\sqrt{n}$：
$$\sqrt{n} \cdot \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{n}} + O\left(\frac{1}{n}\right)$$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0$，$O\left(\frac{1}{n}\right) \to 0$，因此极限为 $1$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \cdot \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right) = 1
提示：注意 $\sqrt{n} \cdot O(1/n^{3/2}) = O(1/n)$ 趋于0。
步骤 6/6
目标：还原原极限
由 $\ln L = 1$ 得 $L = e^1 = e$。因此原极限为 $e$。
公式：\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n}} = e
提示：最终结果是一个常数，不要忘记指数还原。
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