📝 江苏师范大学 2026年数学分析真题

一、（本题满分 10 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n}}$ ．

七、（本题满分 10 分）已知函数 $\displaystyle y=\int_{0}^{x} \sqrt{\sin 2 t} d t$ ，其中 $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ，试求其弧长．

三、（本题满分 10 分）已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{e^{2 \sin x}-\cos x}{x}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 的间断点及其类型．

九、（本题满分 10 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,2)$ 上可导，且满足 $\displaystyle f(0)=f(2)$ ，证明：$\displaystyle \left(\int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) d x\right)^{2} \leq \frac{2}{3} \int_{0}^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x$ ．

二、（本题满分 10 分）计算函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}-\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{4}}$ ．

五、（本题满分 10 分）已知 $\displaystyle x>0$ ．证明：$\displaystyle \sqrt{x+3}-\sqrt{x}=\frac{3}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ，其中 $\displaystyle \frac{3}{4} \leq \theta(x) \leq \frac{3}{2}$ ．六、（本题满分 10 分）设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{4} t \\ y=\sin ^{4} t\end{array}\right.$ 确定，求 $\displaystyle \left.\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ ．

八、（本题满分 10 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{2}+\cos x} d x$ 的敛散性，若收敛，试说明绝对收敛还是条件收敛。。

十、（本题满分 10 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{|x-y|^{\alpha}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，回答以下问题：
（1）当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，试讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性；
（2）当 $\displaystyle \alpha \geq 2$ 时，试讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．

十一、（本题满分 10 分）已知函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由方程 $\displaystyle e^{x}+2 y-e^{y}=0$ 所确定，求 $\displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．

十三、（本题满分 10 分）计算 $\displaystyle I=\iiint_{V}(x+z) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1$ 与 $\displaystyle z \geq 0$所围成。

十二、（本题满分 10 分）计算 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{d S}{z}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 被 $\displaystyle z=a(0<a<1)$
所截．

十五、（本题满分 10 分）计算幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n+1} \sin x(x \neq k \pi, k \neq 0)$ 的和函数．

十四、（本题满分 10 分）回答下列问题：
（1）利用柯西收敛准则证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散；
（2）试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{e^{n!}}$ 收玫。

四、（本题满分 10 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \sin x^{2}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上非一致连续．