江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十、（本题满分 10 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{|x-y|^{\alpha}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，回答以下问题：
（1）当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，试讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性；
（2）当 $\displaystyle \alpha \geq 2$ 时，试讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数在(0,0)处的连续性（α>1）
要判断函数在(0,0)处是否连续，需考察极限$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$是否等于$f(0,0)=0$。函数表达式为$f(x,y)=\frac{|x-y|^\alpha}{\sqrt{x^2+y^2}}$。采用极坐标变换：令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则$|x-y|=r|\cos\theta-\sin\theta|$，分母$\sqrt{x^2+y^2}=r$。代入得$f(r,\theta)=r^{\alpha-1}|\cos\theta-\sin\theta|^\alpha$。
公式：f(r,\theta)=r^{\alpha-1}|\cos\theta-\sin\theta|^\alpha
提示：极坐标变换是处理含$\sqrt{x^2+y^2}$项极限的常用技巧，注意$|\cos\theta-\sin\theta|$有界。
步骤 2/5
目标：判断连续性结论（α>1）
当$\alpha>1$时，$\alpha-1>0$，因此当$r\to0$时，$r^{\alpha-1}\to0$。而$|\cos\theta-\sin\theta|^\alpha$的最大值为$(\sqrt{2})^\alpha$，是有界量。由有界量乘以无穷小仍为无穷小，得$\lim_{r\to0}f(r,\theta)=0$，该极限与$\theta$无关，故$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$。
公式：\lim_{r\to0}r^{\alpha-1}|\cos\theta-\sin\theta|^\alpha=0
提示：注意$\alpha>1$是保证$r^{\alpha-1}\to0$的关键，若$\alpha\le1$则极限可能不存在。
步骤 3/5
目标：计算偏导数在(0,0)处的值（α≥2）
由偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|^\alpha/|h|}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|^{\alpha-1}}{h}$。当$\alpha=2$时，该极限为$\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}$，左右极限分别为1和-1，不存在；当$\alpha>2$时，$|h|^{\alpha-1}$是$h$的高阶无穷小，极限为0。同理$f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{|h|^{\alpha-1}}{h}$，结论相同。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{|h|^{\alpha-1}}{h}
提示：偏导数存在要求极限存在且有限，$\alpha=2$时出现符号函数，极限不存在，因此不可微。
步骤 4/5
目标：检查可微性条件（α>2）
当$\alpha>2$时，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。可微性需验证$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$，即$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{|h-k|^\alpha}{h^2+k^2}=0$。再次使用极坐标：$h=r\cos\theta$，$k=r\sin\theta$，则$\frac{|h-k|^\alpha}{h^2+k^2}=r^{\alpha-2}|\cos\theta-\sin\theta|^\alpha$。
公式：\frac{|h-k|^\alpha}{h^2+k^2}=r^{\alpha-2}|\cos\theta-\sin\theta|^\alpha
提示：可微性条件本质是要求余项为$\sqrt{h^2+k^2}$的高阶无穷小，这里转化为$r^{\alpha-2}$的极限。
步骤 5/5
目标：得出可微性结论（α≥2）
当$\alpha>2$时，$\alpha-2>0$，故$r^{\alpha-2}\to0$，且$|\cos\theta-\sin\theta|^\alpha$有界，因此极限为0，满足可微条件。当$\alpha=2$时，偏导数不存在，故不可微。综合得：$\alpha=2$时不可微，$\alpha>2$时可微。
公式：\lim_{r\to0}r^{\alpha-2}|\cos\theta-\sin\theta|^\alpha=0\quad(\alpha>2)
提示：注意$\alpha=2$时偏导数已不存在，无需再验证全微分；$\alpha>2$时偏导数为0简化了可微性验证。
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