江苏师范大学 2026年数学分析第0题

函数 $f(x)=\frac{e^{2 \sin x}-\cos x}{x}$ 的分母为 $x$，因此 $x=0$ 处无定义。分子中的 $e^{2\sin x}$ 和 $\cos x$ 对所有实数 $x$ 都有定义，所以函数仅在 $x=0$ 处可能为间断点。

计算极限 $\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{2\sin x} - \cos x}{x}$。使用泰勒展开： $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$。 则 $2\sin x = 2x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$。 展开 $e^{2\sin x}$ 到 $x^3$ 项： $e^{2\sin x} = 1 + (2x - \frac{x^3}{3}) + \frac{1}{2}(2x)^2 + \frac{1}{6}(2x)^3 + O(x^4)$ $= 1 + 2x - \frac{x^3}{3} + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + O(x^4)$ $= 1 + 2x + 2x^2 + x^3 + O(x^4)$。 分子相减： $e^{2\sin x} - \cos x = (1 + 2x + 2x^2 + x^3 + \cdots) - (1 - \frac{x^2}{2} + \cdots)$ $= 2x + \frac{5}{2}x^2 + x^3 + O(x^4)$。 因此 $\frac{e^{2\sin x} - \cos x}{x} = 2 + \frac{5}{2}x + x^2 + O(x^3)$， 故 $\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 2$，极限存在且有限。

由于 $x=0$ 处函数无定义，但极限 $\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 2$ 存在且有限，因此 $x=0$ 是第一类间断点中的可去间断点。

分母 $x=0$ 是唯一使分母为零的点，分子 $e^{2\sin x} - \cos x$ 是连续函数，因此没有其他间断点。