江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十五、（本题满分 10 分）计算幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n+1} \sin x(x \neq k \pi, k \neq 0)$ 的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：提取与求和指标无关的因子，简化问题
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n+1} \sin x$，由于 $\sin x$ 与求和指标 $n$ 无关，可将其提到求和号外，得到 $S(x) = \sin x \cdot \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n+1}$。令 $T(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n+1}$，则 $S(x) = \sin x \cdot T(x)$。
公式：$S(x) = \sin x \cdot \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n+1}$
提示：注意 $\sin x$ 是常数因子，可直接提取，但需注意 $x \neq k\pi$ 的条件可能用于后续讨论。
步骤 2/5
目标：提取公因子 $x$，将幂级数化为标准形式
将 $T(x)$ 中的 $x^{n+1}$ 写为 $x \cdot x^n$，即 $T(x) = x \cdot \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^n$。记 $A(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^n$，则 $T(x) = x \cdot A(x)$。
公式：$T(x) = x \cdot \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^n$
提示：提取 $x$ 后，级数变为 $\sum n y^n$ 的形式，其中 $y = -x$，便于利用已知求和公式。
步骤 3/5
目标：利用已知幂级数求和公式计算 $A(x)$
已知公式 $\sum_{n=1}^{\infty} n y^n = \frac{y}{(1-y)^2}$（$|y|<1$）。令 $y = -x$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n (-x)^n = \frac{-x}{(1+x)^2}$。注意 $A(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^n = -\sum_{n=1}^{\infty} n (-x)^n$，因此 $A(x) = -\frac{-x}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2}$。
公式：$A(x) = \frac{x}{(1+x)^2}$，$|x|<1$
提示：注意符号变换：$(-1)^{n-1} = -(-1)^n$，从而 $(-1)^{n-1} n x^n = - n (-x)^n$。
步骤 4/5
目标：计算 $T(x)$ 并得到 $S(x)$ 的表达式
由 $T(x) = x \cdot A(x) = x \cdot \frac{x}{(1+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)^2}$。因此原级数的和函数为 $S(x) = \sin x \cdot T(x) = \frac{x^2 \sin x}{(1+x)^2}$。
公式：$S(x) = \frac{x^2 \sin x}{(1+x)^2}$
提示：该表达式在 $|x|<1$ 且 $x \neq -1$ 时成立。题目中 $x \neq k\pi$ 的条件可能是为了强调 $\sin x$ 不为零，但表达式在 $\sin x=0$ 时也成立（值为0），实际限制是分母不为零。
步骤 5/5
目标：讨论收敛域与题目条件
原幂级数的收敛半径为 $1$（由 $\sum n x^n$ 的收敛性决定），故和函数 $S(x)=\frac{x^2 \sin x}{(1+x)^2}$ 在 $|x|<1$ 时成立。此外，分母 $(1+x)^2$ 在 $x=-1$ 处为零，故 $x \neq -1$。题目给出的 $x \neq k\pi$（$k \neq 0$）条件可能是为了避免 $\sin x=0$ 时级数退化为 $0$ 的讨论，但不影响最终表达式。
公式：收敛域：$|x|<1$ 且 $x \neq -1$
提示：注意幂级数求和公式要求 $|y|<1$，即 $|x|<1$；$x=-1$ 时级数发散，需排除。
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