江苏师范大学 2026年数学分析第0题

要证明： \[ \left( \int_0^2 x f'(x) \, dx \right)^2 \le \frac{2}{3} \int_0^2 (f'(x))^2 \, dx. \] 直接令 \(u(x)=x\)，\(v(x)=f'(x)\)，由柯西-施瓦茨不等式得： \[ \left( \int_0^2 x f'(x) \, dx \right)^2 \le \left( \int_0^2 x^2 \, dx \right) \left( \int_0^2 (f'(x))^2 \, dx \right) = \frac{8}{3} \int_0^2 (f'(x))^2 \, dx. \] 这个结果比要证明的右边 \(\frac{2}{3} \int (f')^2\) 大，说明需要利用 \(f(0)=f(2)\) 来改进估计。

设 \(c = \frac{1}{2} \int_0^2 f(x) \, dx\)，定义 \(g(x) = f(x) - c\)。则 \(g'(x) = f'(x)\)，且 \(\int_0^2 g(x) \, dx = 0\)。又由 \(f(0)=f(2)\) 得 \(g(0)=g(2)\)。于是原式左边不变： \[ \int_0^2 x f'(x) \, dx = \int_0^2 x g'(x) \, dx. \]

对 \(\int_0^2 x g'(x) \, dx\) 分部积分： \[ \int_0^2 x g'(x) \, dx = \left[ x g(x) \right]_0^2 - \int_0^2 g(x) \, dx = 2g(2) - 0 \cdot g(0) - 0 = 2g(2). \] 由于 \(g(2)=g(0)\)，这个形式还不够对称，需要进一步处理。

注意到 \(\int_0^2 g'(x) \, dx = g(2)-g(0)=0\)，因此： \[ \int_0^2 x g'(x) \, dx = \int_0^2 (x-1) g'(x) \, dx + \int_0^2 1 \cdot g'(x) \, dx = \int_0^2 (x-1) g'(x) \, dx. \] 这样就将积分转化成了 \((x-1)\) 与 \(g'(x)\) 乘积的积分。

令 \(u(x)=x-1\)，\(v(x)=g'(x)\)，由柯西-施瓦茨不等式： \[ \left( \int_0^2 (x-1) g'(x) \, dx \right)^2 \le \left( \int_0^2 (x-1)^2 \, dx \right) \left( \int_0^2 (g'(x))^2 \, dx \right). \] 计算 \(\int_0^2 (x-1)^2 \, dx = \int_{-1}^1 t^2 \, dt = \frac{2}{3}\)，且 \(g'(x)=f'(x)\)，代入即得： \[ \left( \int_0^2 x f'(x) \, dx \right)^2 \le \frac{2}{3} \int_0^2 (f'(x))^2 \, dx. \]

因此，原不等式 \[ \left(\int_{0}^{2} x f'(x) \, dx\right)^{2} \leq \frac{2}{3} \int_{0}^{2} (f'(x))^{2} \, dx \] 得证。等号成立当且仅当 \(f'(x)\) 与 \(x-1\) 成比例，即 \(f'(x)=k(x-1)\)，且满足 \(f(0)=f(2)\)。