江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十一、（本题满分 10 分）已知函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由方程 $\displaystyle e^{x}+2 y-e^{y}=0$ 所确定，求 $\displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对原方程两边关于x求一阶导数
已知方程 $e^{x} + 2y - e^{y} = 0$，两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，使用链式法则：
$$\frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(2y) - \frac{d}{dx}(e^y) = e^x + 2\frac{dy}{dx} - e^y \frac{dy}{dx} = 0$$
公式：$e^x + (2 - e^y) y' = 0$
提示：对 $e^y$ 求导时，不要忘记乘以 $y'$，这是隐函数求导的关键。
步骤 2/5
目标：解出一阶导数表达式
由 $e^x + (2 - e^y) y' = 0$ 移项得 $(2 - e^y) y' = -e^x$，所以
$$y' = \frac{-e^x}{2 - e^y} = \frac{e^x}{e^y - 2}$$
公式：$y' = \dfrac{e^x}{e^y - 2}$
提示：注意分母 $2 - e^y$ 与 $e^y - 2$ 互为相反数，化简时符号不要出错。
步骤 3/5
目标：对一阶导数方程两边再求导，得到含二阶导数的方程
对 $e^x + (2 - e^y) y' = 0$ 两边再对 $x$ 求导：
$$e^x + \frac{d}{dx}\left[(2 - e^y) y'\right] = 0$$
其中
$$\frac{d}{dx}\left[(2 - e^y) y'\right] = (-e^y y') y' + (2 - e^y) y'' = -e^y (y')^2 + (2 - e^y) y''$$
代入得
$$e^x - e^y (y')^2 + (2 - e^y) y'' = 0$$
公式：$e^x - e^y (y')^2 + (2 - e^y) y'' = 0$
提示：对乘积 $(2 - e^y) y'$ 求导时，要使用乘积法则，注意 $(2 - e^y)' = -e^y y'$。
步骤 4/5
目标：代入一阶导数表达式并化简
将 $y' = \dfrac{e^x}{e^y - 2}$ 代入，得 $(y')^2 = \dfrac{e^{2x}}{(e^y - 2)^2}$，且 $2 - e^y = -(e^y - 2)$，于是方程变为：
$$e^x - e^y \cdot \frac{e^{2x}}{(e^y - 2)^2} - (e^y - 2) y'' = 0$$
移项得
$$(e^y - 2) y'' = e^x - \frac{e^{y+2x}}{(e^y - 2)^2}$$
公式：$(e^y - 2) y'' = e^x - \dfrac{e^{y+2x}}{(e^y - 2)^2}$
提示：注意 $e^y \cdot e^{2x} = e^{y+2x}$，不要混淆指数运算。
步骤 5/5
目标：整理得到二阶导数的最终表达式
将右边通分：
$$e^x - \frac{e^{y+2x}}{(e^y - 2)^2} = \frac{e^x (e^y - 2)^2 - e^{y+2x}}{(e^y - 2)^2}$$
两边除以 $(e^y - 2)$ 得
$$y'' = \frac{e^x (e^y - 2)^2 - e^{y+2x}}{(e^y - 2)^3}$$
提取公因式 $e^x$：
$$y'' = \frac{e^x\left[(e^y - 2)^2 - e^{x+y}\right]}{(e^y - 2)^3}$$
公式：$\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{e^x\left[(e^y - 2)^2 - e^{x+y}\right]}{(e^y - 2)^3}$
提示：最终结果中分母是 $(e^y - 2)^3$，注意不要漏掉指数。
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