江苏师范大学 2026年数学分析第0题

当 $x \to 0$ 时，分子 $\frac{x^2}{1+x^2} - \ln(1+x^2) \to 0$，分母 $x^4 \to 0$，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。由于分母是 $x^4$，分子中的函数在 $x=0$ 处均可导且易于展开，故采用泰勒展开（麦克劳林展开）求解。

利用几何级数展开：$\frac{1}{1+t} = 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots$，令 $t = x^2$，则 $$\frac{x^2}{1+x^2} = x^2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = x^2 (1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots) = x^2 - x^4 + x^6 - x^8 + \cdots$$ 由于分母是 $x^4$，我们需要展开到 $x^4$ 项，更高阶项（如 $x^6$）在后续约分后仍趋于0，不影响极限值。

利用对数函数的泰勒展开：$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + \cdots$，令 $u = x^2$，则 $$\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + \cdots$$ 同样，我们只需展开到 $x^4$ 项。

分子为 $\frac{x^2}{1+x^2} - \ln(1+x^2)$，代入展开式： $$\text{分子} = (x^2 - x^4 + x^6 - \cdots) - \left(x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \cdots\right)$$ 合并同类项： - $x^2$ 项：$x^2 - x^2 = 0$ - $x^4$ 项：$-x^4 - \left(-\frac{x^4}{2}\right) = -x^4 + \frac{x^4}{2} = -\frac{x^4}{2}$ - $x^6$ 项：$x^6 - \frac{x^6}{3} = \frac{2}{3}x^6$（更高阶项不影响极限） 因此分子为 $-\frac{x^4}{2} + \frac{2}{3}x^6 + O(x^8)$。

将分子展开式代入原极限： $$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{2} + \frac{2}{3}x^6 + O(x^8)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{2} + \frac{2}{3}x^2 + O(x^4)\right)$$ 当 $x \to 0$ 时，$\frac{2}{3}x^2 \to 0$，$O(x^4) \to 0$，因此极限值为 $-\frac{1}{2}$。