江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八、（本题满分 10 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{2}+\cos x} d x$ 的敛散性，若收敛，试说明绝对收敛还是条件收敛。。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数在无穷远处的渐近行为
当 $x \to +\infty$ 时，分母 $x^2 + \cos x$ 中，$\cos x$ 是有界量（介于 $-1$ 和 $1$ 之间），而 $x^2$ 趋于无穷大，因此分母的主要部分是 $x^2$。于是有：
$$\frac{\sin x}{x^2 + \cos x} \sim \frac{\sin x}{x^2}$$
这个“~”表示当 $x$ 很大时，两者比值趋于1。
公式：\frac{\sin x}{x^2 + \cos x} \sim \frac{\sin x}{x^2} \quad (x \to +\infty)
提示：注意 $\cos x$ 的有界性，不要忽略分母中 $\cos x$ 的影响，但渐近分析时只需考虑主导项 $x^2$。
步骤 2/5
目标：判断绝对收敛性：构造控制函数
考虑被积函数的绝对值：
$$\left| \frac{\sin x}{x^2 + \cos x} \right| \le \frac{1}{x^2 - 1}$$
因为当 $x \ge 2$ 时，分母 $x^2 + \cos x \ge x^2 - 1 > 0$，所以绝对值被一个正函数控制。
公式：\left| \frac{\sin x}{x^2 + \cos x} \right| \le \frac{1}{x^2 - 1} \quad (x \ge 2)
提示：注意分母下界的估计：$x^2 + \cos x \ge x^2 - 1$，这是由 $\cos x \ge -1$ 得到的。
步骤 3/5
目标：判断控制函数的积分敛散性
考虑积分 $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$。由于当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x^2 - 1} \sim \frac{1}{x^2}$，而 $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛（$p=2>1$），由比较判别法知 $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$ 收敛。
公式：\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx \text{ 收敛}
提示：比较判别法适用于非负函数，这里 $\frac{1}{x^2-1}$ 在 $[2,+\infty)$ 上非负，且与 $\frac{1}{x^2}$ 同阶。
步骤 4/5
目标：由比较判别法得出绝对收敛
由于 $0 \le \left| \frac{\sin x}{x^2 + \cos x} \right| \le \frac{1}{x^2 - 1}$，且 $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$ 收敛，根据比较判别法，$\int_{2}^{+\infty} \left| \frac{\sin x}{x^2 + \cos x} \right| dx$ 收敛，即原积分绝对收敛。
公式：\int_{2}^{+\infty} \left| \frac{\sin x}{x^2 + \cos x} \right| dx \text{ 收敛}
提示：绝对收敛意味着原积分本身也收敛，且不是条件收敛。
步骤 5/5
目标：得出结论
该反常积分收敛，且为绝对收敛。
公式：\int_{2}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2 + \cos x} dx \text{ 绝对收敛}
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛：若绝对值积分收敛，则原积分绝对收敛；若原积分收敛但绝对值积分发散，则为条件收敛。
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